y2 = 2x3 বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকটি 4x - 3y +1 =0 সরলরেখার লম্ব হবে?

Question

Accepted Answer

খ. (1/8, -1/16)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সরলরেখা: $4x - 3y + 1 = 0 \implies y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$, যার ঢাল $m_1 = \frac{4}{3}$।
যেহেতু স্পর্শকটি এই সরলরেখার ওপর লম্ব, তাই স্পর্শকের ঢাল $m = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{4}$।
বক্ররেখার সমীকরণ $y^2 = 2x^3$-কে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$2y \frac{dy}{dx} = 6x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{y}$
শর্তমতে, $\frac{3x^2}{y} = -\frac{3}{4} \implies y = -4x^2$।
বক্ররেখার সমীকরণে $y$-এর মান বসিয়ে পাই:
$(-4x^2)^2 = 2x^3 \implies 16x^4 = 2x^3$
যেহেতু বিন্দুটি মূলবিন্দু নয়, তাই $x 
eq 0$ বিবেচনা করে:
$16x = 2 \implies x = \frac{1}{8}$
অতএব, $y = -4\left(\frac{1}{8}ight)^2 = -4 	imes \frac{1}{64} = -\frac{1}{16}$।
সুতরাং নির্ণেয় বিন্দুটি হলো $(1/8, -1/16)$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন