গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\left(3x^{-1}+2y^{-1}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)^{-1}=\left(\frac{3y+2x}{xy}\right)^{-1}=\mathbf{\frac{xy}{2x+3y}}$

2. খ)

   $p,q,r$ ক্রমিক সমানুপাতী, তাই $q^2=pr$।

   বামপক্ষ $=p^4q^4r^4\left(\frac{1}{p^6}+\frac{1}{q^6}+\frac{1}{r^6}\right)=\frac{q^4r^4}{p^2}+\frac{p^4r^4}{q^2}+\frac{p^4q^4}{r^2}$

   $q^4=p^2r^2$ বসিয়ে প্রথম পদ $=\frac{p^2r^2\cdot r^4}{p^2}=r^6$

   দ্বিতীয় পদ $=\frac{p^4r^4}{pr}=p^3r^3=(pr)^3=(q^2)^3=q^6$

   তৃতীয় পদ $=\frac{p^4\cdot p^2r^2}{r^2}=p^6$

   অতএব বামপক্ষ $=p^6+q^6+r^6=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

3. গ)

   $m^2-\frac{2m}{a}+1=0$ সমীকরণটি $m$ এর দ্বিঘাত সমীকরণ। সূত্র দিয়ে সমাধান করে পাই,

   $m=\frac{\frac{2}{a}\pm\sqrt{\frac{4}{a^2}-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1-a^2}}{a}$

   বামপক্ষ $=\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}$। লব ও হরকে $\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)$ দিয়ে গুণ করে,

   $=\frac{\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)^2}{(1+a)-(1-a)}=\frac{(1+a)+(1-a)+2\sqrt{1-a^2}}{2a}=\frac{2+2\sqrt{1-a^2}}{2a}=\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a}$

   এটি $m$ এর একটি মূল। অতএব $\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}=m$ (দেখানো হলো)। এখানে $m$ বড় মূলটি ধরা হয়েছে; অন্য মূলটি এর অন্যোন্যক $\frac{1}{m}$।