উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x + \frac{4}{x}$

   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$

   ফাংশনটির চরমমান (গুরুমান বা লঘুমান) বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্তানুসারে,
   $f'(x) = 0$
   $\implies 1 - \frac{4}{x^2} = 0$
   $\implies \frac{4}{x^2} = 1$
   $\implies x^2 = 4$
   $\implies x = \pm 2$

   অতএব, $x = \pm 2$ এর জন্য ফাংশনটির চরমমান বিদ্যমান।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \cos x$ এবং $h(x) = x^4$

   প্রদত্ত রাশি,
   $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \{g(x)\}^2 dx + \int_0^1 \frac{x}{1 + h(x)} dx$
   $= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx + \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx$

   ধরি, $I = I_1 + I_2$

   এখানে,
   $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx$
   $= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2 x \, dx$
   $= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx$
   $= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
   $= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} \right) - (0 + 0) \right]$
   $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

   আবার,
   $I_2 = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx = \int_0^1 \frac{x}{1 + (x^2)^2} dx$
   ধরি, $u = x^2 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} du$
   সীমা: যখন $x = 0$, $u = 0$; যখন $x = 1$, $u = 1$
   $\therefore I_2 = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{du}{1 + u^2}$
   $= \frac{1}{2} [\tan^{-1} u]_0^1$
   $= \frac{1}{2} (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0)$
   $= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{8}$

   অতএব, নির্ণেয় মান,
   $I = I_1 + I_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi + \pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \implies \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$
   এখানে, $a = 4$ এবং $b = 3$

   বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 = 9 = 3^2$
   এখানে, ব্যাসার্ধ $r = 3$

   ১ম চতুর্ভাগে উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল,
   $A_1 = \frac{1}{4} \times \pi a b = \frac{1}{4} \times \pi \times 4 \times 3 = 3\pi$ বর্গ একক।

   [বিকল্পভাবে সমাকলনের সাহায্যে: $A_1 = \int_0^4 \frac{3}{4}\sqrt{16 - x^2} dx = \frac{3}{4}\left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4}\right]_0^4 = \frac{3}{4} \left(8 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 3\pi$ বর্গ একক]

   ১ম চতুর্ভাগে বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল,
   $A_2 = \frac{1}{4} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{4}$ বর্গ একক।

   যেহেতু ১ম চতুর্ভাগে উপবৃত্তটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত, তাই উপবৃত্ত এবং বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ১ম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল হবে,
   $A = A_1 - A_2 = 3\pi - \frac{9\pi}{4} = \frac{12\pi - 9\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ বর্গ একক।