পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর $\vec{\nabla}$ (ডেল)-এর ক্রস গুণনকে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (curl) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\triangle PQR$-এর তিনটি বাহু একইক্রমে তিনটি ভেক্টর $\vec{A}$, $\vec{B}$ ও $\vec{C}$ নির্দেশ করে। অর্থাৎ, $\vec{PQ} = \vec{A}$, $\vec{QR} = \vec{B}$ এবং $\vec{RP} = \vec{C}$।
   ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী, একই ক্রমে গৃহীত দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুটির বিপরীত ক্রমে নির্দেশিত মানের সমান:
   $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR} = -\vec{RP}$
   বা, $\vec{A} + \vec{B} = -\vec{C}$
   বা, $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}$।
   সুতরাং, ত্রিভুজের তিনটি বাহু একইক্রমে তিনটি ভেক্টর নির্দেশ করলে তাদের লব্ধি শূন্য হয়, কারণ শেষ ভেক্টরটির শীর্ষবিন্দু প্রথম ভেক্টরটির পাদবিন্দুর সাথে মিলে যায় এবং মোট সরণ শূন্য হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, নাহিন কর্তৃক প্রযুক্ত বল $P$ এবং জাহিন কর্তৃক প্রযুক্ত বল $Q$। এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং নাহিনের প্রযুক্ত বল $P$-এর সাথে লব্ধি বল $R$-এর উৎপন্ন কোণ $\theta$।

   আমরা জানি,
   $\tan\theta = \frac{Q \sin\alpha}{P + Q \cos\alpha}$

   শর্তানুসারে, জাহিন ও নাহিন সমমানের বল প্রয়োগ করলে, $P = Q$ হবে।
   অতএব,
   $\tan\theta = \frac{P \sin\alpha}{P + P \cos\alpha} = \frac{P \sin\alpha}{P(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

   ত্রিকোণমিতির সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $\tan\theta = \frac{2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

   বা, $\theta = \frac{\alpha}{2}$

   সুতরাং, লব্ধি বলের দিক প্রযুক্ত বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের ঠিক অর্ধেক। অর্থাৎ, জাহিন ও নাহিন সমমানের বল প্রয়োগ করলে এদের লব্ধি বল মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। (দেখানো হলো)

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, নাহিনের প্রযুক্ত বল $F_1$ এবং জাহিনের প্রযুক্ত বল $F_2$। বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে, তাদের লব্ধি বলের মান হবে:
   $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}$

   সর্বোচ্চ লব্ধি বল পাওয়ার শর্ত:
   $R$-এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন $\cos\alpha$-এর মান সর্বোচ্চ হবে।
   আমরা জানি, $\cos\alpha$-এর সর্বোচ্চ মান $+1$, যখন $\alpha = 0^\circ$।

   $\alpha = 0^\circ$ হলে,
   $R_{\max} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2(1)} = \sqrt{(F_1 + F_2)^2} = F_1 + F_2$

   যদি $\alpha > 0^\circ$ হয়, তবে $\cos\alpha < 1$ হওয়ার কারণে একই পরিমাণ লব্ধি $R$ অর্জনের জন্য $F_1$ ও $F_2$-এর মান অনেক বেশি হতে হবে। অর্থাৎ, $\alpha = 0^\circ$ কোণে টানলে প্রযুক্ত বলের কোনো অপচয় হয় না এবং সরাসরি বলদ্বয় যোগ হয়ে সর্বোচ্চ লব্ধি তৈরি করে।

   অতএব, নাহিন এবং জাহিন যদি একই দিকে অর্থাৎ পরস্পর সমান্তরালে বা একই সরলরেখা বরাবর ($\alpha = 0^\circ$ কোণে) ট্রাকটিকে টানে, তবে তারা সর্বাপেক্ষা কম বল প্রয়োগ করে ট্রাকটিকে সর্বোচ্চ লব্ধি বলে টেনে নিতে পারবে।