∫011−x1+xdx \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}} \mathrm{dx} এর মান কোনটি?

Question

Accepted Answer

ক. π2−1 \frac{ π}{2} -1

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলনটি হলো:
$$I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$$

লব ও হরকে $\sqrt{1-x}$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

সুতরাং সমাকলনটিকে দুটি পৃথক সমাকলনে বিভক্ত করা যায়:
$$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$

এখন মানগুলো নির্ণয় করি:
1. $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$
2. $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_{0}^{1} = -\sqrt{0} - (-\sqrt{1}) = 1$

অতএব,
$$I = \frac{\pi}{2} - 1$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো Option 1।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন