উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:
   $9x^2 - 4y^2 = 36$
   উভয়পক্ষকে $36$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$

   এটি $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত, যেখানে $a = 2$ এবং $b = 3$।

   আমরা জানি, অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ:
   $y = \pm \frac{b}{a}x$
   $\implies y = \pm \frac{3}{2}x$
   $\implies 2y = \pm 3x$
   $\implies 3x \pm 2y = 0$

   নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ: $3x \pm 2y = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুসারে,
   অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুদ্বয় $A(4, 0)$ এবং $A'(-4, 0)$,
   উপকেন্দ্রদ্বয় $S(5, 0)$ এবং $S'(-5, 0)$।

   এখানে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু হলো কেন্দ্র $(0, 0)$ এবং অধিবৃত্তের অক্ষটি $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   অতএব, $a = 4$
   এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm ae, 0)$ হতে পাই,
   $ae = 5$
   $\implies e = \frac{5}{a} = \frac{5}{4}$

   আমরা জানি, অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে:
   $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2 e^2 - a^2 = (ae)^2 - a^2$
   $\implies b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$

   যেহেতু অধিবৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং এর আড়-অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর, তাই অধিবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
   $\implies 9x^2 - 16y^2 = 144$

   নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ: $9x^2 - 16y^2 = 144$ বা $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত বিন্দু দুটি হলো $A(4, 0)$ এবং $A'(-4, 0)$।
   প্রশ্নমতে, এই বিন্দুদ্বয় নতুন উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র।

   অতএব, উপবৃত্তের কেন্দ্র হলো উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবিন্দু $\left(\frac{4 - 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (0, 0)$।
   উপকেন্দ্রদ্বয় $x$-অক্ষে অবস্থিত হওয়ায় উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   সুতরাং,
   $ae = 4 \quad \text{--- (i)}$

   প্রদত্ত নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $5x - 36 = 0 \implies x = \frac{36}{5}$
   আমরা জানি, কেন্দ্র $(0, 0)$ এবং বৃহদাক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর হলে নিয়ামকের সমীকরণ $x = \pm \frac{a}{e}$।
   অতএব,
   $\frac{a}{e} = \frac{36}{5} \quad \text{--- (ii)}$

   সমীকরণ (i) ও (ii) গুণ করে পাই,
   $ae \times \frac{a}{e} = 4 \times \frac{36}{5}$
   $\implies a^2 = \frac{144}{5}$

   আবার, সমীকরণ (i)-কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{ae}{a/e} = \frac{4}{36/5} \implies e^2 = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

   এখন উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের জন্য,
   $b^2 = a^2(1 - e^2) = \frac{144}{5}\left(1 - \frac{5}{9}\right) = \frac{144}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{16 \times 4}{5} = \frac{64}{5}$

   যেহেতু কেন্দ্র $(0, 0)$ এবং বৃহদাক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{144/5} + \frac{y^2}{64/5} = 1$
   $\implies \frac{5x^2}{144} + \frac{5y^2}{64} = 1$
   উভয়পক্ষকে $576$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $20x^2 + 45y^2 = 576$

   নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $20x^2 + 45y^2 = 576$ বা $\frac{5x^2}{144} + \frac{5y^2}{64} = 1$।