পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র (Sample space) বলে। একে সাধারণত $S$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো একদিন বৃষ্টি হওয়া এবং না হওয়ার ঘটনার সম্ভাবনার সমষ্টি ১।
   ব্যাখ্যা: কোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে বৃষ্টি হওয়া ($A$) এবং বৃষ্টি না হওয়া ($A'$) পরস্পরের সম্পূরক ঘটনা। এরা একত্রে সম্পূর্ণ ও পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা তৈরি করে। সম্ভাবনার মৌলিক স্বীকার্যানুযায়ী, কোনো একটি ঘটনার সম্ভাবনা $P(A)$ এবং তার সম্পূরক ঘটনার সম্ভাবনা $P(A')$ এর সমষ্টি সর্বদা ১ হয়, অর্থাৎ $P(A) + P(A') = 1$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু সংখ্যা $n(S) = 6 \times 6 = 36$।

   ধরি, ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফল ১২ হওয়ার ঘটনা $E$।
   যেসব ফলাফলের গুণফল ১২ হয়, তারা হলো:
   $E = \{(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)\}$

   এখানে অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা $n(E) = 4$।

   $\therefore$ নির্ণেয় সম্ভাবনা $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ছক্কার ক্ষেত্রে মোট ফলাফল $n(S) = 36$।

   ধরি,
   উভয় ছক্কায় একই সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা $A$:
   $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$
   $\therefore n(A) = 6$
   $\therefore P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

   সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবার ঘটনা $B$:
   যোগফল ৩, ৬, ৯ অথবা ১২ হতে পারে।
   যোগফল ৩: $(1,2), (2,1)$ (২টি)
   যোগফল ৬: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ (৫টি)
   যোগফল ৯: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ (৪টি)
   যোগফল ১২: $(6,6)$ (১টি)
   $\therefore B$ এর অনুকূল নমুনা বিন্দু সংখ্যা $n(B) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12$
   $\therefore P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

   উভয় ঘটনার সাধারণ ঘটনা বা ছেদ ঘটনা ($A \cap B$):
   $A$ এবং $B$ উভয়ের সাধারণ ফলাফল হলো:
   $A \cap B = \{(3,3), (6,6)\}$
   $\therefore n(A \cap B) = 2$
   $\therefore P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

   এখন,
   $P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$

   যেহেতু $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, সুতরাং ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।

   মন্তব্য: হামিদের বন্ধু মন্তব্য করেছিল যে ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা গেল মন্তব্যটি সঠিক। অতএব, আমি হামিদের বন্ধুর মন্তব্যের সাথে একমত।