উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

P=(1531−1612−5),Q=(690),R=(xyz) P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \ 1 & -1 & 6 \ 1 & 2 & -5\end{array}\right), Q=\left(\begin{array}{l}6 \ 9 \ 0\end{array}\right), R=\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}\right)

  1. ক)

    দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণন যোগ্যতা ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  2. খ)

    f(x)=x2−3x−5I f(x)=x^{2}-3 x-5I হলে f(P) f(P) নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    PTR=Q \mathrm{P}^{\mathrm{T}} \mathrm{R}=\mathrm{Q} থেকে প্রাপ্ত সমীকরণণ জোটকে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দুটি ম্যাট্রিক্স AA ও BB এর গুণফল ABAB সংজ্ঞায়িত হবে যদি এবং কেবল যদি প্রথম ম্যাট্রিক্স AA-এর কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স BB-এর সারি সংখ্যার সমান হয়। অর্থাৎ, AA যদি m×nm \times n ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে BB-কে অবশ্যই n×pn \times p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হতে হবে। তখন গুণফল ম্যাট্রিক্স ABAB-এর ক্রম হবে m×pm \times p।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=(1531−1612−5)P = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{pmatrix}

    P2=P⋅P=(1531−1612−5)(1531−1612−5)P^2 = P \cdot P = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{pmatrix}
    =(1+5+35−5+63+30−151−1+65+1+123−6−301+2−55−2−103+12+25)=(9618618−33−2−740)= \begin{pmatrix} 1+5+3 & 5-5+6 & 3+30-15 \\ 1-1+6 & 5+1+12 & 3-6-30 \\ 1+2-5 & 5-2-10 & 3+12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 18 \\ 6 & 18 & -33 \\ -2 & -7 & 40 \end{pmatrix}

    3P=3(1531−1612−5)=(31593−31836−15)3P = 3 \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 9 \\ 3 & -3 & 18 \\ 3 & 6 & -15 \end{pmatrix}

    5I=5(100010001)=(500050005)5I = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

    অতএব,
    f(P)=P2−3P−5If(P) = P^2 - 3P - 5I
    =(9618618−33−2−740)−(31593−31836−15)−(500050005)= \begin{pmatrix} 9 & 6 & 18 \\ 6 & 18 & -33 \\ -2 & -7 & 40 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 15 & 9 \\ 3 & -3 & 18 \\ 3 & 6 & -15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}
    =(9−3−56−15−018−9−06−3−018−(−3)−5−33−18−0−2−3−0−7−6−040−(−15)−5)=(1−99316−51−5−1350)= \begin{pmatrix} 9-3-5 & 6-15-0 & 18-9-0 \\ 6-3-0 & 18-(-3)-5 & -33-18-0 \\ -2-3-0 & -7-6-0 & 40-(-15)-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -9 & 9 \\ 3 & 16 & -51 \\ -5 & -13 & 50 \end{pmatrix}

    নির্ণেয় f(P)=(1−99316−51−5−1350)f(P) = \begin{pmatrix} 1 & -9 & 9 \\ 3 & 16 & -51 \\ -5 & -13 & 50 \end{pmatrix}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=(1531−1612−5)  ⟹  PT=(1115−1236−5)P = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \implies P^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \end{pmatrix}
    R=(xyz),Q=(690)R = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}

    PTR=QP^T R = Q সমীকরণটি লিখলে পাই:
    (1115−1236−5)(xyz)=(690)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}

    সমীকরণ জোটটি হলো:
    x+y+z=6x + y + z = 6
    5x−y+2z=95x - y + 2z = 9
    3x+6y−5z=03x + 6y - 5z = 0

    ক্র্যামারের নিয়মের সাহায্যে সমাধান:
    D=∣1115−1236−5∣=1(5−12)−1(−25−6)+1(30−(−3))=−7−1(−31)+1(33)=−7+31+33=57D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \end{vmatrix} = 1(5 - 12) - 1(-25 - 6) + 1(30 - (-3)) = -7 - 1(-31) + 1(33) = -7 + 31 + 33 = 57
    যেহেতু D≠0D \neq 0, অনন্য সমাধান বিদ্যমান।

    Dx=∣6119−1206−5∣=6(5−12)−1(−45−0)+1(54−0)=6(−7)+45+54=−42+99=57D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 9 & -1 & 2 \\ 0 & 6 & -5 \end{vmatrix} = 6(5 - 12) - 1(-45 - 0) + 1(54 - 0) = 6(-7) + 45 + 54 = -42 + 99 = 57

    Dy=∣16159230−5∣=1(−45−0)−6(−25−6)+1(0−27)=−45−6(−31)−27=−45+186−27=114D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 5 & 9 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \end{vmatrix} = 1(-45 - 0) - 6(-25 - 6) + 1(0 - 27) = -45 - 6(-31) - 27 = -45 + 186 - 27 = 114

    Dz=∣1165−19360∣=1(0−54)−1(0−27)+6(30−(−3))=−54+27+6(33)=−27+198=171D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 5 & -1 & 9 \\ 3 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - 54) - 1(0 - 27) + 6(30 - (-3)) = -54 + 27 + 6(33) = -27 + 198 = 171

    অতএব,
    x=DxD=5757=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{57}{57} = 1
    y=DyD=11457=2y = \frac{D_y}{D} = \frac{114}{57} = 2
    z=DzD=17157=3z = \frac{D_z}{D} = \frac{171}{57} = 3

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন