উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $u = 7^{\cos^{-1} x}$
   আমরা জানি, $\frac{d}{dx}(a^v) = a^v \ln a \cdot \frac{dv}{dx}$

   অতএব,
   $\frac{d}{dx}\left(7^{\cos^{-1} x}\right) = 7^{\cos^{-1} x} \ln 7 \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$
   $= 7^{\cos^{-1} x} \ln 7 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)$
   $= -\frac{7^{\cos^{-1} x} \ln 7}{\sqrt{1 - x^2}}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = a\cot(\ln x)$

   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \frac{dy}{dx} = a \left(-\text{cosec}^2(\ln x)\right) \cdot \frac{1}{x}$
   $\Rightarrow x y_1 = -a\text{cosec}^2(\ln x)$

   পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $x y_2 + y_1 \cdot 1 = -a \cdot 2\text{cosec}(\ln x) \cdot \left(-\text{cosec}(\ln x)\cot(\ln x)\right) \cdot \frac{1}{x}$
   $\Rightarrow x(x y_2 + y_1) = 2 \cdot \{a\cot(\ln x)\} \cdot \text{cosec}^2(\ln x)$
   $\Rightarrow x^2 y_2 + x y_1 = 2y\text{cosec}^2(\ln x)$ [যেহেতু $y = a\cot(\ln x)$]

   (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

   অন্তরীকরণ করে,
   $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
   $f''(x) = 6x - 12$

   চরম মানের (লঘুমান বা গুরুমান) জন্য $f'(x) = 0$:
   $3x^2 - 12x + 9 = 0$
   $\Rightarrow 3(x^2 - 4x + 3) = 0$
   $\Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0$
   $\therefore x = 1$ অথবা $x = 3$

   যখন $x = 1$:
   $f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$
   সুতরাং, $x = 1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
   গুরুমান $= f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$

   যখন $x = 3$:
   $f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$
   সুতরাং, $x = 3$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
   লঘুমান $= f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

   উত্তর: গুরুমান $5$ এবং লঘুমান $1$।