উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কণাটির উত্থানকাল $t$।
   খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে $t$ সময় পর শেষ বেগ,
   $v = u - gt$
   সর্বোচ্চ উচ্চতায় শেষ বেগ $v = 0$ হয়।
   $\therefore 0 = u - gt$
   $\Rightarrow gt = u$
   $\Rightarrow t = \frac{u}{g}$

   অতএব, কণাটির উত্থানকাল $\frac{u}{g}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   নিক্ষেপ বেগ, $u = 30\text{ m/s}$
   নিক্ষেপ কোণ, $\alpha = 30^\circ$
   উচ্চতা, $y = 1\text{ m}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m/s}^2$

   আমরা জানি, $t$ সময়ে প্রাসের উলম্ব সরণ,
   $y = (u \sin\alpha)t - \frac{1}{2}gt^2$
   $\Rightarrow 1 = (30 \sin 30^\circ)t - \frac{1}{2}(9.8)t^2$
   $\Rightarrow 1 = 30 \times \frac{1}{2} t - 4.9 t^2$
   $\Rightarrow 4.9t^2 - 15t + 1 = 0$

   দ্বিঘাত সমীকরণ $at^2 + bt + c = 0$-এর মূলদ্বয় $t_1$ ও $t_2$ হলে,
   $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = \frac{15}{4.9}$
   $t_1 t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{4.9}$

   সময়ের পার্থক্য,
   $|t_2 - t_1| = \sqrt{(t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2}$
   $= \sqrt{\left(\frac{15}{4.9}\right)^2 - 4 \times \frac{1}{4.9}}$
   $= \sqrt{\frac{225 - 19.6}{(4.9)^2}} = \frac{\sqrt{205.4}}{4.9} \approx \frac{14.3318}{4.9} \approx 2.925\text{ s}$

   অতএব, ১ মিটার উচ্চতায় পৌঁছার সময়ের পার্থক্য প্রায় $2.93$ সেকেন্ড।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, সাঁতারুর বেগ $= u_1$ এবং স্রোতের বেগ $= u_2$ ($u_1 > u_2$)।

   ১ম ক্ষেত্রে:
   সাঁতারু নদী পার হয়ে সোজাসুজি বিপরীত বিন্দু $B$-তে পৌঁছায়, অর্থাৎ লব্ধি বেগ নদী পারের সাথে লম্ব বরাবর ($AB$ বরাবর) ক্রিয়া করে।
   লব্ধি বেগ, $v_1 = \sqrt{u_1^2 - u_2^2}$
   $AB = d$ দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{\sqrt{u_1^2 - u_2^2}}$

   ২য় ক্ষেত্রে:
   সাঁতারু নদীর তীর বরাবর $AC$ দূরত্ব স্রোতের অনুকূলে অতিক্রম করে।
   এক্ষেত্রে সাঁতারুর কার্যকর বেগ, $v_2 = u_1 + u_2$
   দেওয়া আছে, $AC = 2d$
   অতএব, $AC$ দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_2 = \frac{2d}{u_1 + u_2}$

   এখন, $t_1$ ও $t_2$ এর অনুপাত:
   $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{d}{\sqrt{u_1^2 - u_2^2}}}{\frac{2d}{u_1 + u_2}} = \frac{u_1 + u_2}{2\sqrt{u_1^2 - u_2^2}} = \frac{\sqrt{u_1 + u_2} \cdot \sqrt{u_1 + u_2}}{2\sqrt{u_1 + u_2} \cdot \sqrt{u_1 - u_2}} = \frac{\sqrt{u_1 + u_2}}{2\sqrt{u_1 - u_2}}$

   $\therefore t_1 : t_2 = \sqrt{u_1 + u_2} : 2\sqrt{u_1 - u_2}$ (বা, $(u_1 + u_2) : 2\sqrt{u_1^2 - u_2^2}$)।