গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
$y = x^2$ ... (i)
$x = y^2 \implies y = \sqrt{x}$ (প্রথম চতুর্ভাগে) ... (ii)

(i) ও (ii) এর ছেদবিন্দু নির্ণয়:
$x = (x^2)^2 = x^4$
$\implies x^4 - x = 0$
$\implies x(x^3 - 1) = 0$
$\implies x = 0, 1$
যখন $x = 0$, তখন $y = 0$
যখন $x = 1$, তখন $y = 1$
অতএব ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,0)$ এবং $(1,1)$।

সুতরাং, বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^3}{3} \right) - 0$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ বর্গ একক।

উত্তর: $\frac{1}{3}$ বর্গ একক।