উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: z1=a−ib, z2=c−id, f(x)=px2+qx+r z_{1}=a-i b, ~z_{2}=c-i d, ~f(x)=p x^{2}+q x+r .

  1. ক)

    −16−30i -16-30 i \quad এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    x:y=z1:z2 x: y=z_{1}: z_{2} হলে, দেখাও যে, (c2+d2)x2+(a2+b2)y2=2(ac+bd)xy \left(c^{2}+d^{2}\right) x^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y^{2}=2(a c+b d) x y .

    (2)
  3. গ)

    এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω \omega হলে, যদি {f(ω)}3+{f(1ω)}3=0 {f(\omega)}^{3}+\left{f\left(\frac{1}{\omega}\right)\right}^{3}=0 , হয়, তবে দেখাও যে, 2p=q+r,2q=r+p,2r=p+q 2 p=q+r, 2 q=r+p, 2 r=p+q .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, −16−30i=±(u−iv)\sqrt{-16-30i} = \pm(u - iv),
    যেখানে u,v∈Ru, v \in \mathbb{R} এবং u,v>0u, v > 0।
    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    −16−30i=u2−v2−2uvi-16 - 30i = u^2 - v^2 - 2uvi
    বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
    u2−v2=−16u^2 - v^2 = -16 ... (i)
    2uv=302uv = 30 ... (ii)

    আমরা জানি,
    (u2+v2)2=(u2−v2)2+(2uv)2(u^2 + v^2)^2 = (u^2 - v^2)^2 + (2uv)^2
    =(−16)2+(30)2=256+900=1156= (-16)^2 + (30)^2 = 256 + 900 = 1156
    ∴u2+v2=1156=34\therefore u^2 + v^2 = \sqrt{1156} = 34 ... (iii) [যেহেতু u2+v2>0u^2+v^2 > 0]

    (i) ও (iii) যোগ করে পাই,
    2u2=34−16=18  ⟹  u2=9  ⟹  u=32u^2 = 34 - 16 = 18 \implies u^2 = 9 \implies u = 3

    (iii) হতে (i) বিয়োগ করে পাই,
    2v2=34−(−16)=50  ⟹  v2=25  ⟹  v=52v^2 = 34 - (-16) = 50 \implies v^2 = 25 \implies v = 5

    অতএব, নির্ণেয় বর্গমূল =±(3−5i)= \pm(3 - 5i)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, x:y=z1:z2x : y = z_1 : z_2
    বা, xy=z1z2=a−ibc−id\frac{x}{y} = \frac{z_1}{z_2} = \frac{a - ib}{c - id}

    বা, xy=(a−ib)(c+id)(c−id)(c+id)=(ac+bd)+i(ad−bc)c2+d2\frac{x}{y} = \frac{(a - ib)(c + id)}{(c - id)(c + id)} = \frac{(ac + bd) + i(ad - bc)}{c^2 + d^2}

    বা, xy−ac+bdc2+d2=iad−bcc2+d2\frac{x}{y} - \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} = i \frac{ad - bc}{c^2 + d^2}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (xy−ac+bdc2+d2)2=−(ad−bc)2(c2+d2)2\left(\frac{x}{y} - \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\right)^2 = -\frac{(ad - bc)^2}{(c^2 + d^2)^2}

    বা, x2y2−2(ac+bd)x(c2+d2)y+(ac+bd)2(c2+d2)2=−(ad−bc)2(c2+d2)2\frac{x^2}{y^2} - \frac{2(ac + bd)x}{(c^2 + d^2)y} + \frac{(ac + bd)^2}{(c^2 + d^2)^2} = -\frac{(ad - bc)^2}{(c^2 + d^2)^2}

    বা, x2y2−2(ac+bd)x(c2+d2)y+(ac+bd)2+(ad−bc)2(c2+d2)2=0\frac{x^2}{y^2} - \frac{2(ac + bd)x}{(c^2 + d^2)y} + \frac{(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2}{(c^2 + d^2)^2} = 0

    এখানে লবে,
    (ac+bd)2+(ad−bc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2−2abcd+b2c2(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2
    =a2(c2+d2)+b2(c2+d2)=(a2+b2)(c2+d2)= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

    অতএব,
    x2y2−2(ac+bd)x(c2+d2)y+(a2+b2)(c2+d2)(c2+d2)2=0\frac{x^2}{y^2} - \frac{2(ac + bd)x}{(c^2 + d^2)y} + \frac{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2} = 0

    বা, x2y2−2(ac+bd)x(c2+d2)y+a2+b2c2+d2=0\frac{x^2}{y^2} - \frac{2(ac + bd)x}{(c^2 + d^2)y} + \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} = 0

    উভয়পক্ষকে y2(c2+d2)y^2(c^2 + d^2) দ্বারা গুণ করে পাই,
    (c2+d2)x2−2(ac+bd)xy+(a2+b2)y2=0(c^2 + d^2)x^2 - 2(ac + bd)xy + (a^2 + b^2)y^2 = 0

    বা, (c2+d2)x2+(a2+b2)y2=2(ac+bd)xy(c^2 + d^2)x^2 + (a^2 + b^2)y^2 = 2(ac + bd)xy (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=px2+qx+rf(x) = px^2 + qx + r
    এবং এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω\omega, যেখানে ω3=1\omega^3 = 1 এবং 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0।

    তাহলে, f(ω)=pω2+qω+rf(\omega) = p\omega^2 + q\omega + r
    আবার, 1ω=ω2ω3=ω2\frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2
    অতএব, f(1ω)=f(ω2)=p(ω2)2+q(ω2)+r=pω4+qω2+r=pω+qω2+rf\left(\frac{1}{\omega}\right) = f(\omega^2) = p(\omega^2)^2 + q(\omega^2) + r = p\omega^4 + q\omega^2 + r = p\omega + q\omega^2 + r

    ধরি, A=f(ω)=pω2+qω+rA = f(\omega) = p\omega^2 + q\omega + r এবং B=f(1ω)=pω+qω2+rB = f\left(\frac{1}{\omega}\right) = p\omega + q\omega^2 + r

    দেওয়া আছে, A3+B3=0A^3 + B^3 = 0
    বা, (A+B)(A+ωB)(A+ω2B)=0(A + B)(A + \omega B)(A + \omega^2 B) = 0

    এখন,
    ১ম উৎপাদক:
    A+B=(pω2+qω+r)+(pω+qω2+r)A + B = (p\omega^2 + q\omega + r) + (p\omega + q\omega^2 + r)
    =p(ω2+ω)+q(ω+ω2)+2r= p(\omega^2 + \omega) + q(\omega + \omega^2) + 2r
    =p(−1)+q(−1)+2r=2r−p−q= p(-1) + q(-1) + 2r = 2r - p - q

    ২য় উৎপাদক:
    A+ωB=(pω2+qω+r)+ω(pω+qω2+r)A + \omega B = (p\omega^2 + q\omega + r) + \omega(p\omega + q\omega^2 + r)
    =pω2+qω+r+pω2+qω3+rω= p\omega^2 + q\omega + r + p\omega^2 + q\omega^3 + r\omega
    =2pω2+qω+r+q(1)+rω= 2p\omega^2 + q\omega + r + q(1) + r\omega
    =2pω2+q(ω+1)+r(ω+1)= 2p\omega^2 + q(\omega + 1) + r(\omega + 1)
    =2pω2+q(−ω2)+r(−ω2)= 2p\omega^2 + q(-\omega^2) + r(-\omega^2)
    =ω2(2p−q−r)= \omega^2 (2p - q - r)

    ৩য় উৎপাদক:
    A+ω2B=(pω2+qω+r)+ω2(pω+qω2+r)A + \omega^2 B = (p\omega^2 + q\omega + r) + \omega^2(p\omega + q\omega^2 + r)
    =pω2+qω+r+pω3+qω4+rω2= p\omega^2 + q\omega + r + p\omega^3 + q\omega^4 + r\omega^2
    =pω2+qω+r+p(1)+qω+rω2= p\omega^2 + q\omega + r + p(1) + q\omega + r\omega^2
    =(p+r)ω2+2qω+(p+r)= (p + r)\omega^2 + 2q\omega + (p + r)
    =(p+r)(ω2+1)+2qω= (p + r)(\omega^2 + 1) + 2q\omega
    =(p+r)(−ω)+2qω= (p + r)(-\omega) + 2q\omega
    =ω[2q−(p+r)]=ω(2q−p−r)= \omega [2q - (p + r)] = \omega(2q - p - r)

    যেহেতু (A+B)(A+ωB)(A+ω2B)=0(A + B)(A + \omega B)(A + \omega^2 B) = 0,
    ∴(2r−p−q)⋅ω2(2p−q−r)⋅ω(2q−p−r)=0\therefore (2r - p - q) \cdot \omega^2(2p - q - r) \cdot \omega(2q - p - r) = 0
    বা, ω3(2p−q−r)(2q−r−p)(2r−p−q)=0\omega^3 (2p - q - r)(2q - r - p)(2r - p - q) = 0
    বা, (2p−q−r)(2q−r−p)(2r−p−q)=0(2p - q - r)(2q - r - p)(2r - p - q) = 0

    সুতরাং,
    2p−q−r=0  ⟹  2p=q+r2p - q - r = 0 \implies 2p = q + r
    অথবা, 2q−r−p=0  ⟹  2q=r+p2q - r - p = 0 \implies 2q = r + p
    অথবা, 2r−p−q=0  ⟹  2r=p+q2r - p - q = 0 \implies 2r = p + q

    অতএব, 2p=q+r2p = q + r অথবা 2q=r+p2q = r + p অথবা 2r=p+q2r = p + q (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন