পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো স্প্রিংয়ের মুক্ত প্রান্তের একক দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি বা হ্রাসের জন্য প্রযুক্ত বলের মানকে স্প্রিং ধ্রুবক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, কৌণিক ভরবেগ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ বা এর মান $L = r p \sin\theta$।
   এখানে, $\vec{r}$ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে অবস্থান ভেক্টর, $\vec{p}$ হলো রৈখিক ভরবেগ এবং $\theta$ হলো $\vec{r}$ ও $\vec{p}$-এর মধ্যবর্তী কোণ।
   একটি ঘূর্ণনরত বস্তুর কৌণিক ভরবেগ শূন্য হওয়ার শর্তগুলো হলো:
   ১. যদি বস্তুটি ঘূর্ণন অক্ষের উপর অবস্থান করে, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ ভেক্টর $r = 0$ হয়।
   ২. যদি রৈখিক ভরবেগ শূন্য হয় ($p = mv = 0$), অর্থাৎ বস্তুটি স্থির থাকে।
   ৩. যদি বস্তুর গতির দিক বা রৈখিক ভরবেগের দিক ঘূর্ণন অক্ষের মধ্য দিয়ে যায় বা ব্যাসার্ধ ভেক্টরের সমান্তরাল/বিপরীত সমান্তরাল হয় (অর্থাৎ $\theta = 0^\circ$ বা $180^\circ$, যার ফলে $\sin\theta = 0$ হয়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $t = 1\text{ s}$ সময়ে প্রাসটির অবস্থান ভেক্টর $\vec{\text{OP}} = (10\hat{\text{i}} + 12\hat{\text{j}})\text{ m}$।
   সুতরাং, $t = 1\text{ s}$ সময়ে:
   আনুভূমিক দূরত্ব, $x = 10\text{ m}$
   উল্লম্ব সরণ, $y = 12\text{ m}$

   আমরা জানি,
   আনুভূমিক দিকে সমবেগ হওয়ায়:
   $x = (v_0 \cos\theta_0)t$
   বা, $10 = (v_0 \cos\theta_0) \times 1$
   $\therefore v_0 \cos\theta_0 = 10\text{ m s}^{-1}$ ... (১)

   উল্লম্ব দিকে অভিকর্ষের অধীনে গতির সমীকরণ থেকে:
   $y = (v_0 \sin\theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2$
   বা, $12 = (v_0 \sin\theta_0) \times 1 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1)^2$
   বা, $12 = v_0 \sin\theta_0 - 4.9$
   বা, $v_0 \sin\theta_0 = 12 + 4.9 = 16.9\text{ m s}^{-1}$ ... (২)

   সমীকরণ (২)-কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $\frac{v_0 \sin\theta_0}{v_0 \cos\theta_0} = \frac{16.9}{10}$
   বা, $\tan\theta_0 = 1.69$
   $\therefore \theta_0 = \tan^{-1}(1.69) \approx 59.38^\circ$

   অতএব, প্রাসটির নিক্ষেপণ কোণ $59.38^\circ$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রাসের ক্ষেত্রে:
   'গ' হতে পাই,
   আদি বেগের আনুভূমিক উপাংশ, $v_{0x} = v_0 \cos\theta_0 = 10\text{ m s}^{-1}$
   আদি বেগের উল্লম্ব উপাংশ, $v_{0y} = v_0 \sin\theta_0 = 16.9\text{ m s}^{-1}$

   P বিন্দুতে বেগ ও গতিশক্তি নির্ণয়:
   $t = 1\text{ s}$ পরে P বিন্দুতে আনুভূমিক বেগ অপরিবর্তিত থাকে, অর্থাৎ:
   $v_x = v_{0x} = 10\text{ m s}^{-1}$
   এবং উল্লম্ব বেগ:
   $v_y = v_{0y} - gt = 16.9 - (9.8 \times 1) = 7.1\text{ m s}^{-1}$

   সুতরাং, P বিন্দুতে লব্ধি বেগ,
   $v_P = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
   বা, $v_P^2 = (10)^2 + (7.1)^2 = 100 + 50.41 = 150.41\text{ m}^2\text{ s}^{-2}$

   প্রাসটির ভর $m$ হলে, P বিন্দুতে গতিশক্তি:
   $E_{kP} = \frac{1}{2}mv_P^2 = \frac{1}{2} m \times 150.41 = 75.205m\text{ J}$

   সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ ও গতিশক্তি নির্ণয়:
   সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগের কেবল আনুভূমিক উপাংশ থাকে এবং উল্লম্ব উপাংশ শূন্য হয় ($v_y = 0$)।
   অতএব, সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ $v_H = v_{0x} = 10\text{ m s}^{-1}$

   সর্বোচ্চ বিন্দুতে গতিশক্তি:
   $E_{kH} = \frac{1}{2}mv_H^2 = \frac{1}{2} m \times (10)^2 = 50m\text{ J}$

   দেখা যাচ্ছে যে, $E_{kP} \neq E_{kH}$ (যেহেতু $75.205m > 50m$)।

   সুতরাং, প্রাসটির P বিন্দুর গতিশক্তি ও সর্বোচ্চ বিন্দুর গতিশক্তি একই হবে না; P বিন্দুর গতিশক্তি সর্বোচ্চ বিন্দুর গতিশক্তি অপেক্ষা বেশি হবে।