উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬ (অনিয়মিত)

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[31522−4−130],B=[756] A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \ 2 & 2 & -4 \ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 7 \ 5 \ 6 \end{bmatrix}

  1. ক)

    দেখাও যে, [121212−12] \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} একটি উলম্ব ম্যাট্রিক্স (orthogonal matrix)।

    (2)
  2. খ)

    A−1 A^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    AC=B AC = B হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে C C ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, M=[121212−12]M = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

    তাহলে, MT=[121212−12]M^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

    এখন,
    MMT=[121212−12][121212−12]M M^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}
    =[12+1212−1212−1212+12]= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \end{bmatrix}
    =[1001]=I= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I

    যেহেতু MMT=IM M^T = I, সুতরাং ম্যাট্রিক্সটি একটি উলম্ব ম্যাট্রিক্স (orthogonal matrix)। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স:
    A=[31522−4−130]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -4 \\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}

    ∣A∣=3(0−(−12))−1(0−4)+5(6−(−2))|A| = 3(0 - (-12)) - 1(0 - 4) + 5(6 - (-2))
    =3(12)−1(−4)+5(8)= 3(12) - 1(-4) + 5(8)
    =36+4+40=80≠0= 36 + 4 + 40 = 80 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA-এর সহগুণকসমূহ (Cofactors):
    A11=+∣2−430∣=0−(−12)=12A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-12) = 12
    A12=−∣2−4−10∣=−(0−4)=4A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4
    A13=+∣22−13∣=6−(−2)=8A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - (-2) = 8
    A21=−∣1530∣=−(0−15)=15A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 15) = 15
    A22=+∣35−10∣=0−(−5)=5A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-5) = 5
    A23=−∣31−13∣=−(9−(−1))=−10A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(9 - (-1)) = -10
    A31=+∣152−4∣=−4−10=−14A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -4 - 10 = -14
    A32=−∣352−4∣=−(−12−10)=22A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -(-12 - 10) = 22
    A33=+∣3122∣=6−2=4A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4

    adj(A)=[1248155−10−14224]T=[1215−1445228−104]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 12 & 4 & 8 \\ 15 & 5 & -10 \\ -14 & 22 & 4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 12 & 15 & -14 \\ 4 & 5 & 22 \\ 8 & -10 & 4 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1∣A∣adj(A)=180[1215−1445228−104]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{80} \begin{bmatrix} 12 & 15 & -14 \\ 4 & 5 & 22 \\ 8 & -10 & 4 \end{bmatrix} (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, C=[xyz]C = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

    প্রদত্ত সমীকরণ AC=BAC = B:
    [31522−4−130][xyz]=[756]\begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -4 \\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}

    সমীকরণজোট:
    3x+y+5z=73x + y + 5z = 7
    2x+2y−4z=52x + 2y - 4z = 5
    −x+3y+0z=6-x + 3y + 0z = 6

    নির্ণায়ক পদ্ধতিতে (ক্রেমারের নিয়ম):
    D=∣A∣=∣31522−4−130∣=80D = |A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -4 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 80

    Dx=∣71552−4630∣D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & -4 \\ 6 & 3 & 0 \end{vmatrix}
    =7(0−(−12))−1(0−(−24))+5(15−12)= 7(0 - (-12)) - 1(0 - (-24)) + 5(15 - 12)
    =7(12)−1(24)+5(3)=84−24+15=75= 7(12) - 1(24) + 5(3) = 84 - 24 + 15 = 75

    Dy=∣37525−4−160∣D_y = \begin{vmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 2 & 5 & -4 \\ -1 & 6 & 0 \end{vmatrix}
    =3(0−(−24))−7(0−4)+5(12−(−5))= 3(0 - (-24)) - 7(0 - 4) + 5(12 - (-5))
    =3(24)−7(−4)+5(17)=72+28+85=185= 3(24) - 7(-4) + 5(17) = 72 + 28 + 85 = 185

    Dz=∣317225−136∣D_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 7 \\ 2 & 2 & 5 \\ -1 & 3 & 6 \end{vmatrix}
    =3(12−15)−1(12−(−5))+7(6−(−2))= 3(12 - 15) - 1(12 - (-5)) + 7(6 - (-2))
    =3(−3)−1(17)+7(8)=−9−17+56=30= 3(-3) - 1(17) + 7(8) = -9 - 17 + 56 = 30

    অতএব,
    x=DxD=7580=1516x = \frac{D_x}{D} = \frac{75}{80} = \frac{15}{16}
    y=DyD=18580=3716y = \frac{D_y}{D} = \frac{185}{80} = \frac{37}{16}
    z=DzD=3080=38z = \frac{D_z}{D} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}

    সুতরাং, নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স C=[1516371638]C = \begin{bmatrix} \frac{15}{16} \\ \frac{37}{16} \\ \frac{3}{8} \end{bmatrix} (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন