∫011−x1+xdx\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx = কত?

Question

Accepted Answer

গ. π2−1\frac{\pi}{2}-1

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি হলো:
$$I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$$

লব ও হরকে $\sqrt{1-x}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$$I = \int_{0}^{1} \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$

এখন অংশ দুটি আলাদাভাবে সমাকলন করা যাক:
১. $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

২. $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ এর ক্ষেত্রে,
ধরি, $1-x^2 = z \implies -2x \, dx = dz \implies x \, dx = -\frac{1}{2} dz$
সীমা পরিবর্তন: $x = 0$ হলে $z = 1$ এবং $x = 1$ হলে $z = 0$
অতএব,
$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} z^{-1/2} \, dz = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} z^{-1/2} \, dz = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{z} \right]_{0}^{1} = 1$$

সুতরাং,
$$I = \frac{\pi}{2} - 1$$

অতএব, সঠিক উত্তর ৩ নম্বর অপশন।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন