উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রতিটি বলের মান F।
   বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α = 120° এবং লব্ধি R = 4 N।

   আমরা জানি,
   R² = F² + F² + 2·F·F·cos 120°
   বা, R² = 2F² + 2F²(-1/2) = 2F² - F² = F²
   ∴ R = F

   যেহেতু R = 4 N, সুতরাং F = 4 N।
   অতএব, বলদ্বয়ের মান যথাক্রমে 4 N এবং 4 N।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, ১ম বল P₁ = 2P এবং ২য় বল P₂ = Q = 3P।
   ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α এবং লব্ধি ১ম বলের সাথে θ কোণ তৈরি করে।
   তাহলে,
   tan θ = (Q sin α) / (2P + Q cos α)
   বা, tan θ = (3P sin α) / (2P + 3P cos α) = (3 sin α) / (2 + 3 cos α) ... (i)

   ১ম বলকে দ্বিগুণ করলে তা হয় 2 × (2P) = 4P এবং ২য় বলের মান 6 একক বৃদ্ধি পেলে হয় Q + 6 = 3P + 6।
   লব্ধির দিক অপরিবর্তিত থাকে বলে,
   tan θ = ((3P + 6) sin α) / (4P + (3P + 6) cos α) ... (ii)

   (i) ও (ii) তুলনা করে পাই:
   (3 sin α) / (2 + 3 cos α) = ((3P + 6) sin α) / (4P + (3P + 6) cos α)
   বা, 3 / (2 + 3 cos α) = (3P + 6) / [4P + (3P + 6) cos α]
   বা, 3[4P + (3P + 6) cos α] = (3P + 6)(2 + 3 cos α)
   বা, 12P + 3(3P + 6) cos α = 2(3P + 6) + 3(3P + 6) cos α
   বা, 12P = 6P + 12
   বা, 6P = 12
   ∴ P = 2

   অতএব, Q = 3P = 3 × 2 = 6 একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে 5 N এবং 3 N মানের দুটি বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল।
   AB = 10 সেমি।
   যেহেতু 5 N > 3 N, তাই লব্ধি R = 5 - 3 = 2 N এবং লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C, AB রেখার বর্ধিতাংশের ওপর A বিন্দুর পাশে অবস্থিত হবে।
   বিপরীতমুখী সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী:
   5 × AC = 3 × BC
   বা, 5 × AC = 3 × (AC + AB)
   বা, 5 × AC = 3 × AC + 3 × 10
   বা, 2 × AC = 30
   ∴ AC = 15 সেমি।

   এখন, প্রতিটি বলের মান 3 N বৃদ্ধি করা হলে:
   ১ম বল P' = 5 + 3 = 8 N
   ২য় বল Q' = 3 + 3 = 6 N
   নতুন লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C' হলে:
   8 × AC' = 6 × BC'
   বা, 8 × AC' = 6 × (AC' + AB)
   বা, 8 × AC' = 6 × AC' + 6 × 10
   বা, 2 × AC' = 60
   ∴ AC' = 30 সেমি।

   অতএব, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর সরণ:
   CC' = AC' - AC = 30 - 15 = 15 সেমি।
   অর্থাৎ লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু 15 সেমি দূরে সরে যাবে।