উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, তিনটি বিন্দু $(a, b)$, $(b, a)$ এবং $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)$।
   বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে যদি তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়:
   $\begin{vmatrix} a & b & 1 \\ b & a & 1 \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & 1 \end{vmatrix} = 0$

   বা, $R_1 \to R_1 - R_2$ এবং $R_2 \to R_2 - R_3$ প্রয়োগ করে:
   $\begin{vmatrix} a-b & b-a & 0 \\ b-\frac{1}{a} & a-\frac{1}{b} & 0 \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & 1 \end{vmatrix} = 0$

   বা, $1 \cdot \left[ (a-b)\left(a-\frac{1}{b}\right) - (b-a)\left(b-\frac{1}{a}\right) \right] = 0$
   বা, $(a-b)\left(a-\frac{1}{b}\right) + (a-b)\left(b-\frac{1}{a}\right) = 0$
   বা, $(a-b) \left[ a - \frac{1}{b} + b - \frac{1}{a} \right] = 0$
   বা, $(a-b) \left[ (a+b) - \frac{a+b}{ab} \right] = 0$
   বা, $(a-b)(a+b) \left(1 - \frac{1}{ab}\right) = 0$

   যেহেতু বিন্দু তিনটি ভিন্ন, তাই $a \neq b$, অর্থাৎ $a-b \neq 0$।
   অতএব, $a+b=0$ (অথবা $ab=1$)।
   সুতরাং, $a+b=0$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্রানুযায়ী, $AB$ রেখার সমীকরণ হলো:
   $2x - y + 7 = 0$ ... (i)

   $AB$ রেখার লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $x + 2y + k = 0$ ... (ii)

   যেহেতু এই লম্ব রেখাটি $(3, 1)$ বিন্দুগামী:
   $3 + 2(1) + k = 0 \implies k = -5$

   সুতরাং লম্বরেখার সমীকরণ:
   $x + 2y - 5 = 0$ ... (iii)

   এখন, (i) ও (iii) সমাধান করে লম্বের পাদবিন্দু পাওয়া যাবে।
   (i) থেকে পাই, $y = 2x + 7$।
   $y$-এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $x + 2(2x + 7) - 5 = 0$
   $\implies 5x + 9 = 0$
   $\implies 5x = -9 \implies x = -\frac{9}{5}$ কিন্তু চিত্র অনুযায়ী $2x - y + 7 = 0$ এ $x = -1, y = 5$ পাওয়া যায় সরাসরি সমাধান করলে:
   $x + 2(2x + 7) - 5 = 5x + 9 = 0 \implies x = -\frac{9}{5}, y = 2\left(-\frac{9}{5}\right) + 7 = \frac{17}{5}$।
   বিকল্প নিয়মে সূত্র ব্যবহার করে:
   পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\alpha, \beta)$ হলে,
   $\frac{\alpha - 3}{2} = \frac{\beta - 1}{-1} = -\frac{2(3) - 1(1) + 7}{2^2 + (-1)^2} = -\frac{12}{5}$
   $\implies \alpha - 3 = 2\left(-\frac{12}{5}\right) = -\frac{24}{5} \implies \alpha = 3 - \frac{24}{5} = -\frac{9}{5}$
   $\implies \beta - 1 = -1\left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{5} \implies \beta = 1 + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}$

   অতএব, অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{9}{5}, \frac{17}{5}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $2x - y + 1 = 0$ ... (i)
   $x - 2y + 4 = 0$ ... (ii)

   রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   $\frac{2x - y + 1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x - 2y + 4}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$
   $\implies 2x - y + 1 = \pm (x - 2y + 4)$

   (+) চিহ্ন নিয়ে:
   $2x - y + 1 = x - 2y + 4$
   $\implies x + y - 3 = 0$ ... (iii)

   (-) চিহ্ন নিয়ে:
   $2x - y + 1 = -(x - 2y + 4)$
   $\implies 2x - y + 1 = -x + 2y - 4$
   $\implies 3x - 3y + 5 = 0$
   $\implies 3x - 3y = -5$ বা, $3x - 3y + 5 = 0$ ... (iv)

   সমদ্বিখণ্ডক দুইটি $y$-অক্ষকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   $y$-অক্ষের উপর $x = 0$।

   (iii) নং রেখায় $x = 0$ বসালে পাই:
   $0 + y - 3 = 0 \implies y = 3$
   অতএব, $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 3)$।

   (iv) নং রেখায় $x = 0$ বসালে পাই:
   $3(0) - 3y + 5 = 0 \implies -3y = -5 \implies y = \frac{5}{3}$।
   (অথবা যদি রেখাটির সমীকরণ $2y - x = 4 \implies -x + 2y - 4 = 0$ হিসেবে সমদ্বিখণ্ডক নেওয়া হয়, মান একই থাকে)।
   অতএব, $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(0, \frac{5}{3}\right)$।

   সুতরাং, $PQ$-এর দৈর্ঘ্য:
   $PQ = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(3 - \frac{5}{3}\right)^2} = \left|3 - \frac{5}{3}\right| = \frac{4}{3}$ একক।
   (নোট: যদি রেখাটি $y = 2x+1$ এবং $2y-x-4=0$ হিসেবে নেওয়া হয়, তবে সমদ্বিখণ্ডকগুলোর $y$-ছেদক $3$ এবং $\frac{5}{3}$ হয়; দূরত্ব $\frac{4}{3}$ একক।)