উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\bar{A} = 2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - \hat{k}$
   $\bar{B} = 2\hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}$

   $\bar{A}$ এর উপর $\bar{B}$ এর অভিক্ষেপ $= \frac{\bar{A} \cdot \bar{B}}{|\bar{A}|}$

   এখানে,
   $\bar{A} \cdot \bar{B} = (2 \times 2) + (3 \times 1) + (-1 \times 1) = 4 + 3 - 1 = 6$
   $|\bar{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

   $\therefore \bar{A}$ এর উপর $\bar{B}$ এর অভিক্ষেপ $= \frac{6}{\sqrt{14}}$ বা $\frac{3\sqrt{14}}{7}$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\bar{A} = 2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - \hat{k}$
   $\bar{B} = 2\hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}$
   $\bar{C} = a\hat{\imath} - 7\hat{\jmath} + 10\hat{k}$

   $\bar{A}$ ও $\bar{B}$ দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর,
   $\bar{A} \times \bar{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
   $= \hat{\imath}(3 - (-1)) - \hat{\jmath}(2 - (-2)) + \hat{k}(2 - 6)$
   $= 4\hat{\imath} - 4\hat{\jmath} - 4\hat{k}$

   $\bar{A}$ ও $\bar{B}$ দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর $\hat{\eta} = \pm \frac{\bar{A} \times \bar{B}}{|\bar{A} \times \bar{B}|}$

   প্রশ্নমতে, এই লম্ব একক ভেক্টরটি $\bar{C}$ এর উপর লম্ব হবে।
   সুতরাং, $(\bar{A} \times \bar{B}) \cdot \bar{C} = 0$
   $\Rightarrow (4\hat{\imath} - 4\hat{\jmath} - 4\hat{k}) \cdot (a\hat{\imath} - 7\hat{\jmath} + 10\hat{k}) = 0$
   $\Rightarrow 4a + (-4)(-7) + (-4)(10) = 0$
   $\Rightarrow 4a + 28 - 40 = 0$
   $\Rightarrow 4a - 12 = 0$
   $\Rightarrow 4a = 12$
   $\Rightarrow a = 3$

   অতএব, $a = 3$ হলে লম্ব একক ভেক্টরটি $\bar{C}$ এর উপর লম্ব হবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী,
   $P(5, 1)$ এবং $Q(1, 5)$। $\triangle PQR$ এর লম্ববিন্দু $C(3, 2)$।

   $P(5, 1)$ ও $C(3, 2)$ এর সংযোগকারী রেখাংশ $PC$ এর ঢাল,
   $m_{PC} = \frac{2 - 1}{3 - 5} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

   যেহেতু লম্ববিন্দু হতে শীর্ষের সংযোগকারী রেখা বিপরীত বাহুর উপর লম্ব, তাই $PC \perp QR$।
   $\therefore QR$ রেখার ঢাল, $m_{QR} = -\frac{1}{m_{PC}} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$

   $Q(1, 5)$ বিন্দুগামী এবং $2$ ঢালবিশিষ্ট $QR$ বাহুর সমীকরণ:
   $y - 5 = 2(x - 1)$
   $\Rightarrow y - 5 = 2x - 2$
   $\Rightarrow 2x - y + 3 = 0$ ...... (i)

   আবার, $Q(1, 5)$ ও $C(3, 2)$ এর সংযোগকারী রেখাংশ $QC$ এর ঢাল,
   $m_{QC} = \frac{2 - 5}{3 - 1} = -\frac{3}{2}$

   যেহেতু $QC \perp PR$, তাই $PR$ রেখার ঢাল,
   $m_{PR} = -\frac{1}{m_{QC}} = -\frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

   $P(5, 1)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{2}{3}$ ঢালবিশিষ্ট $PR$ বাহুর সমীকরণ:
   $y - 1 = \frac{2}{3}(x - 5)$
   $\Rightarrow 3y - 3 = 2x - 10$
   $\Rightarrow 2x - 3y - 7 = 0$ ...... (ii)

   (i) ও (ii) সমীকরণ সমাধান করে $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
   (i) নং হতে পাই, $y = 2x + 3$
   (ii) নং এ $y$ এর মান বসিয়ে পাই:
   $2x - 3(2x + 3) - 7 = 0$
   $\Rightarrow 2x - 6x - 9 - 7 = 0$
   $\Rightarrow -4x - 16 = 0$
   $\Rightarrow x = -4$

   $x = -4$ হলে, $y = 2(-4) + 3 = -8 + 3 = -5$
   $\therefore R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4, -5)$।

   এখন, শীর্ষত্রয় $P(5, 1)$, $Q(1, 5)$ এবং $R(-4, -5)$ বিশিষ্ট $\triangle PQR$ এর ক্ষেত্রফল:
   $\triangle PQR = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & -5 & 1 \end{vmatrix}$
   $= \frac{1}{2} [5(5 - (-5)) - 1(1 - (-4)) + 1(-5 - (-20))]$
   $= \frac{1}{2} [5(10) - 1(5) + 1(15)]$
   $= \frac{1}{2} [50 - 5 + 15]$
   $= \frac{1}{2} [60] = 30$ বর্গ একক।