গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $105° = 180° - 75°$ এবং $75° = 90° - 15°$। তাই অঙ্কন করা হয় এভাবে:

   ১. রশ্মি $OA$ এবং এর বিপরীত রশ্মি $OA'$ আঁকি।
   ২. $O$ বিন্দুতে $OA$ এর ওপর লম্ব $OB$ আঁকি, ফলে $\angle AOB = 90°$।
   ৩. $O$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধে বৃত্তচাপ আঁকি, যা $OA$ কে $P$ বিন্দুতে কাটে। $P$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধে চাপ কেটে $60°$ কোণ $\angle AOC = 60°$ পাই। তাহলে $\angle BOC = 30°$।
   ৪. $\angle BOC$ এর সমদ্বিখণ্ডক $OD$ আঁকি। তাহলে $\angle BOD = 15°$ এবং $\angle AOD = 90° - 15° = 75°$।
   ৫. তাহলে $\angle A'OD = 180° - 75° = 105°$।

   অতএব, $\angle A'OD$ ই নির্ণেয় $105°$ কোণ।

2. খ)

   ত্রিভুজের পরিসীমা $= 11$ সে.মি., ভূমিসংলগ্ন কোণ দুটি $\angle x = 75°$ ও $\angle y = 60°$।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $AB = 11$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।
   ২. $A$ বিন্দুতে $\angle BAX = 75°$ এবং $B$ বিন্দুতে $\angle ABY = 60°$ আঁকি (ধরি $X$, $Y$ রেখাংশের একই পাশে)।
   ৩. $\angle BAX$ ও $\angle ABY$ এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $C$ বিন্দুতে মিলিত হয়।
   ৪. $AC$ ও $BC$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি। এরা $AB$ কে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $C, P$ এবং $C, Q$ যোগ করি। তাহলে $\triangle CPQ$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $P$ বিন্দু $AC$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের ওপর, তাই $PA = PC$। আবার $QB = QC$। অতএব, $CP + PQ + QC = AP + PQ + QB = AB = 11$ সে.মি.।

   আবার $PA = PC$ বলে $\angle PCA = \angle PAC = 37.5°$। $\angle CPQ$ হলো $\triangle APC$ এর বহিঃস্থ কোণ, তাই $\angle CPQ = 37.5° + 37.5° = 75°$। একইভাবে $\angle CQP = 60°$।

3. গ)

   ত্রিভুজের পরিসীমা $= 11$ সে.মি.। সমান পরিসীমার বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $= \dfrac{11}{4} = 2.75$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $PQ = 11$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।
   ২. $P$ বিন্দুতে $PQ$ এর সাথে একটি সূক্ষ্মকোণ করে $PX$ রশ্মি আঁকি। $PX$ থেকে সমান দূরত্বে চারটি অংশ $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4$ কেটে নিই।
   ৩. $A_4$ ও $Q$ যোগ করি। $A_1, A_2, A_3$ বিন্দু দিয়ে $A_4Q$ এর সমান্তরাল রেখা টেনে $PQ$ কে চার সমান ভাগে ভাগ করি। প্রথম অংশটি $PR$, যার দৈর্ঘ্য $2.75$ সে.মি.।
   ৪. এখন $AB = PR = 2.75$ সে.মি. আঁকি।
   ৫. $A$ ও $B$ বিন্দুতে $AB$ এর ওপর লম্ব $AY$ ও $BZ$ আঁকি।
   ৬. $AY$ ও $BZ$ থেকে যথাক্রমে $AD = BC = 2.75$ সে.মি. কেটে নিই।
   ৭. $D, C$ যোগ করি।

   তাহলে $ABCD$ ই নির্ণেয় বর্গক্ষেত্র, যার পরিসীমা $4 \times 2.75 = 11$ সে.মি.