গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কন: চাপ $DEF$ এর উপর যেকোনো দুটি জ্যা $DE$ ও $EF$ আঁকি। $DE$ ও $EF$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি। লম্ব সমদ্বিখণ্ডক দুটি যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেটিই বৃত্তচাপটির কেন্দ্র।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $M$ ও $N$ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $M, P, N$ একই সরলরেখায়।
   অঙ্কন: $P$ বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক $TP T'$ আঁকি এবং $MP$, $NP$ যোগ করি।
   প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই $\angle MPT = 90^\circ$ এবং $\angle NPT' = 90^\circ$। বৃত্ত দুটি বহিঃস্পর্শ করায় $M$ ও $N$ স্পর্শকের বিপরীত পাশে অবস্থিত।
   তাই $\angle MPT + \angle NPT' = 180^\circ$ এবং $T, P, T'$ একই সরলরেখায় হওয়ায় $MP$ ও $PN$ একই সরলরেখা গঠন করে।
   অতএব, $M, P, N$ বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)

3. গ)

   ত্রিভুজের বাহু $a = 4$ সেমি, $b = 4.5$ সেমি, $c = 5.5$ সেমি। (ত্রিভুজ গঠনযোগ্য, কারণ যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়।)
   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC = 4$ সেমি আঁকি।
   ২. $B$ ও $C$ কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $5.5$ সেমি ও $4.5$ সেমি ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি; এরা $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AB$, $AC$ যোগ করি।
   ৩. $AB$ ও $BC$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি।
   এটি $A$, $B$, $C$ বিন্দু দিয়ে যায়, তাই নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
   প্রমাণ: $O$, $AB$ ও $BC$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $OA = OB = OC$।