যদি ∫dxa+bcos⁡x=1a2−b2cos⁡−1 b+acos⁡xa+bcos⁡x \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}}} \cos ^{-1} \frac{\mathrm{~b}+\mathrm{a} \cos \mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}} হয়, ∫0πdxa+bcos⁡x \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}} এর মান হবে-

Question

যদি ∫dxa+bcos⁡x=1a2−b2cos⁡−1 b+acos⁡xa+bcos⁡x \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}}} \cos ^{-1} \frac{\mathrm{~b}+\mathrm{a} \cos \mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}} হয়, ∫0πdxa+bcos⁡x \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}} এর মান হবে-

Accepted Answer

ঙ. πa2−b2 \frac{\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, F(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \cos^{-1}\left(\frac{b+a\cos x}{a+b\cos x}\right)।
আপার লিমিট x = \pi হলে: \cos \pi = -1 \implies \frac{b-a}{a-b} = -1; \cos^{-1}(-1) = \pi।
লোয়ার লিমিট x = 0 হলে: \cos 0 = 1 \implies \frac{b+a}{a+b} = 1; \cos^{-1}(1) = 0।
অতএব, \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}} = F(\pi) - F(0) = \frac{\pi - 0}{\sqrt{a^2-b^2}} = \frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন