উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, P, Q এবং R বলত্রয় সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
   এখানে, √2P = √2Q = R ⇒ P = Q = R/√2 ⇒ R = √2 P এবং P = Q।
   যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে, লামির উপপাদ্য অনুসারে,
   P / sin(Q^R) = Q / sin(R^P) = R / sin(P^Q)
   যেহেতু P = Q, সুতরাং sin(Q^R) = sin(R^P)।
   আবার, বলত্রয় দ্বারা সাম্যাবস্থা গঠিত হওয়ায় বলত্রয়ের ভেক্টর যোগফল শূন্য, অর্থাৎ P^2 + Q^2 + 2PQ cos(P^Q) = R^2 [যেহেতু R বলটি P ও Q এর লব্ধির সমান ও বিপরীতমুখী]
   ⇒ P^2 + P^2 + 2P^2 cos(P^Q) = (√2 P)^2 = 2P^2
   ⇒ 2P^2 + 2P^2 cos(P^Q) = 2P^2
   ⇒ 2P^2 cos(P^Q) = 0
   ⇒ cos(P^Q) = 0 ⇒ ∠(P, Q) = 90°।

   যেহেতু P = Q, তাই R বলের সাথে P ও Q এর অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হবে।
   সুতরাং, ∠(P, Q) + ∠(Q, R) + ∠(R, P) = 360°
   ⇒ 90° + 2 ∠(R, P) = 360°
   ⇒ 2 ∠(R, P) = 270°
   ⇒ ∠(R, P) = 135°।

   অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ 90° এবং R ও P এর মধ্যবর্তী কোণ 135°।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, P ও Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α এবং লব্ধি R।
   প্রশ্নমতে, লব্ধি R বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করে।
   যেহেতু P > Q, লব্ধি R বৃহত্তর বল P-এর কাছাকাছি থাকবে।
   সুতরাং, P-এর সাথে লব্ধির কোণ θ = α/3 এবং Q-এর সাথে লব্ধির কোণ 2α/3।
   বল ত্রিভুজের সূত্র বা সাইন সূত্রানুসারে,
   P / sin(2α/3) = Q / sin(α/3) = R / sin(α)

   প্রথম দুটি অনুপাত থেকে পাই,
   P / [2 sin(α/3) cos(α/3)] = Q / sin(α/3)
   ⇒ P / [2 cos(α/3)] = Q
   ⇒ cos(α/3) = P / (2Q)
   ⇒ α/3 = cos^(-1)(P / 2Q)
   ⇒ α = 3 cos^(-1)(P / 2Q)।

   সুতরাং, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ α = 3 cos^(-1)(P / 2Q)।

   আবার লব্ধি নির্ণয়ের জন্য,
   R / sin α = Q / sin(α/3)
   ⇒ R = Q * [sin(3 * α/3) / sin(α/3)]
   ⇒ R = Q * [3 sin(α/3) - 4 sin^3(α/3)] / sin(α/3)
   ⇒ R = Q * [3 - 4 sin^2(α/3)]
   ⇒ R = Q * [3 - 4(1 - cos^2(α/3))]
   ⇒ R = Q * [4 cos^2(α/3) - 1]

   এখন, cos(α/3) = P / (2Q) বসিয়ে পাই,
   R = Q * [4 * (P^2 / 4Q^2) - 1]
   ⇒ R = Q * [(P^2 / Q^2) - 1]
   ⇒ R = (P^2 - Q^2) / Q।

   অতএব, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ 3 cos^(-1)(P / (2Q)) এবং লব্ধি (P^2 - Q^2) / Q।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, P ও Q বলদ্বয়ের বৃহত্তম লব্ধি F এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি G (যেখানে P > Q)।
   সুতরাং,
   P + Q = F ...... (১)
   P - Q = G ...... (২)

   (১) ও (২) যোগ ও বিয়োগ করে পাই,
   2P = F + G ⇒ P = (F + G) / 2
   2Q = F - G ⇒ Q = (F - G) / 2

   বলদ্বয় পরস্পর α কোণে ক্রিয়াশীল হলে তাদের লব্ধি R হলে,
   R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ cos α
   ⇒ R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ (2 cos^2(α/2) - 1)
   ⇒ R^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ + 4PQ cos^2(α/2)
   ⇒ R^2 = (P - Q)^2 + 4PQ cos^2(α/2)

   আমরা জানি, (P - Q) = G এবং 4PQ = (P + Q)^2 - (P - Q)^2 = F^2 - G^2।
   মান বসিয়ে পাই,
   R^2 = G^2 + (F^2 - G^2) cos^2(α/2)
   ⇒ R^2 = G^2 (1 - cos^2(α/2)) + F^2 cos^2(α/2)
   ⇒ R^2 = F^2 cos^2(α/2) + G^2 sin^2(α/2)
   ⇒ R = √[F^2 cos^2(α/2) + G^2 sin^2(α/2)]।

   অতএব, নির্ণেয় লব্ধি R = √[F^2 cos^2(α/2) + G^2 sin^2(α/2)]।