উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: h(x)=ax2+bx+c,g(x)=lx2+mx+n h(x)=a x^{2}+b x+c, g(x)=l x^{2}+m x+n .

  1. ক)

    3x3−2x2+1=0 3 x^{3}-2 x^{2}+1=0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ \alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ2 \Sigma \alpha \beta^{2} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    h(x)=0 h(x)=0 সমীকরণের একটি মূল অপরটির ঘন এর সমান হলে, দেখাও যে, ac(c+a)2=(b2−2ca)2 a c(c+a)^{2}=\left(b^{2}-2 c a\right)^{2} .

    (4)
  3. গ)

    h(x)=0 h(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত এবং g(x)=0 g(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত পরস্পর সমান হলে, দেখাও যে, b2ln−m2ca=0 b^{2} l n-m^{2} c a=0 .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 3x3−2x2+0⋅x+1=03x^3 - 2x^2 + 0\cdot x + 1 = 0
    মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে,
    ∑α=α+β+γ=−−23=23\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}
    ∑αβ=αβ+βγ+γα=03=0\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{0}{3} = 0
    αβγ=−13\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{3}

    আমরা জানি,
    (∑α)(∑αβ)=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)(\sum \alpha)(\sum \alpha\beta) = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)
    =∑α2β+∑αβ2+3αβγ= \sum \alpha^2\beta + \sum \alpha\beta^2 + 3\alpha\beta\gamma
    =∑αβ2+∑α2β+3αβγ= \sum \alpha\beta^2 + \sum \alpha^2\beta + 3\alpha\beta\gamma
    (এখানে ∑αβ2\sum \alpha\beta^2 এবং ∑α2β\sum \alpha^2\beta মূলত একই ছয়টি পদের সমষ্টি: αβ2+αγ2+βα2+βγ2+γα2+γβ2=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)−3αβγ\alpha\beta^2 + \alpha\gamma^2 + \beta\alpha^2 + \beta\gamma^2 + \gamma\alpha^2 + \gamma\beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma)

    ∴∑αβ2=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)−3αβγ\therefore \sum \alpha\beta^2 = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma
    =(23)(0)−3(−13)=0+1=1= \left(\frac{2}{3}\right)(0) - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 0 + 1 = 1

    নির্ণেয় মান =1= 1।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, h(x)=ax2+bx+c=0h(x) = ax^2 + bx + c = 0
    ধরি, সমীকরণটির একটি মূল α\alpha, অতএব অপর মূলটি হবে α3\alpha^3।

    মূলদ্বয়ের যোগফল,
    α+α3=−ba\alpha + \alpha^3 = -\frac{b}{a} ... (i)

    মূলদ্বয়ের গুণফল,
    α⋅α3=α4=ca\alpha \cdot \alpha^3 = \alpha^4 = \frac{c}{a} ... (ii)

    (i) নং সমীকরণকে উভয়পাশে ঘন করে পাই,
    (α+α3)3=(−ba)3(\alpha + \alpha^3)^3 = \left(-\frac{b}{a}\right)^3
    বা, α3+(α3)3+3⋅α⋅α3(α+α3)=−b3a3\alpha^3 + (\alpha^3)^3 + 3 \cdot \alpha \cdot \alpha^3 (\alpha + \alpha^3) = -\frac{b^3}{a^3}
    বা, α3+α9+3α4(α+α3)=−b3a3\alpha^3 + \alpha^9 + 3\alpha^4(\alpha + \alpha^3) = -\frac{b^3}{a^3}
    বা, α3(1+α6)+3(ca)(−ba)=−b3a3\alpha^3(1 + \alpha^6) + 3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{b^3}{a^3} [ (i) ও (ii) ব্যবহার করে ]
    বা, α3(1+α6)−3bca2=−b3a3\alpha^3(1 + \alpha^6) - \frac{3bc}{a^2} = -\frac{b^3}{a^3}
    বা, α3(1+α6)=3bca2−b3a3=3abc−b3a3\alpha^3(1 + \alpha^6) = \frac{3bc}{a^2} - \frac{b^3}{a^3} = \frac{3abc - b^3}{a^3}
    বা, α3(1+α6)=−b(b2−3ac)a3\alpha^3(1 + \alpha^6) = -\frac{b(b^2 - 3ac)}{a^3}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    α6(1+α6)2=b2(b2−3ac)2a6\alpha^6 (1 + \alpha^6)^2 = \frac{b^2(b^2 - 3ac)^2}{a^6}
    কিন্তু এটি সরল আকারে ac(c+a)2=(b2−2ca)2ac(c+a)^2=(b^2-2ca)^2 প্রমাণে যাওয়ার জন্য অন্য পদ্ধতি:

    যেহেতু α4=ca\alpha^4 = \frac{c}{a},
    α+α3=−ba\alpha + \alpha^3 = -\frac{b}{a}
    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    α2+2α4+α6=b2a2\alpha^2 + 2\alpha^4 + \alpha^6 = \frac{b^2}{a^2}
    বা, α2+α6=b2a2−2α4=b2a2−2ca=b2−2caa2\alpha^2 + \alpha^6 = \frac{b^2}{a^2} - 2\alpha^4 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ca}{a^2}

    আবার,
    (α2−α6)2=(α2+α6)2−4α8(\alpha^2 - \alpha^6)^2 = (\alpha^2 + \alpha^6)^2 - 4\alpha^8
    বা, α4(1−α4)2=(b2−2caa2)2−4(ca)2\alpha^4(1 - \alpha^4)^2 = \left(\frac{b^2 - 2ca}{a^2}\right)^2 - 4\left(\frac{c}{a}\right)^2
    বা, ca(1−ca)2=(b2−2ca)2a4−4c2a2\frac{c}{a}\left(1 - \frac{c}{a}\right)^2 = \frac{(b^2 - 2ca)^2}{a^4} - \frac{4c^2}{a^2}
    বা, ca⋅(a−c)2a2=(b2−2ca)2−4a2c2a4\frac{c}{a}\cdot \frac{(a - c)^2}{a^2} = \frac{(b^2 - 2ca)^2 - 4a^2c^2}{a^4}
    বা, ac(a−c)2a4+4a2c2a4=(b2−2ca)2a4\frac{ac(a - c)^2}{a^4} + \frac{4a^2c^2}{a^4} = \frac{(b^2 - 2ca)^2}{a^4}
    বা, ac[(a−c)2+4ac]a4=(b2−2ca)2a4\frac{ac[(a - c)^2 + 4ac]}{a^4} = \frac{(b^2 - 2ca)^2}{a^4}
    বা, ac(a+c)2a4=(b2−2ca)2a4\frac{ac(a + c)^2}{a^4} = \frac{(b^2 - 2ca)^2}{a^4}
    বা, ac(a+c)2=(b2−2ca)2ac(a + c)^2 = (b^2 - 2ca)^2
    বা, ac(c+a)2=(b2−2ca)2ac(c + a)^2 = (b^2 - 2ca)^2 (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    h(x)=ax2+bx+c=0h(x) = ax^2 + bx + c = 0 ... (i)
    g(x)=lx2+mx+n=0g(x) = lx^2 + mx + n = 0 ... (ii)

    ধরি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α1,β1\alpha_1, \beta_1 এবং (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α2,β2\alpha_2, \beta_2।
    শর্তানুসারে,
    α1β1=α2β2=k\frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k (ধরি)
    তাহলে, α1=kβ1\alpha_1 = k\beta_1 এবং α2=kβ2\alpha_2 = k\beta_2

    (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
    α1+β1=−ba  ⟹  β1(k+1)=−ba\alpha_1 + \beta_1 = -\frac{b}{a} \implies \beta_1(k + 1) = -\frac{b}{a}
    α1β1=ca  ⟹  kβ12=ca\alpha_1 \beta_1 = \frac{c}{a} \implies k\beta_1^2 = \frac{c}{a}

    অতএব,
    (α1+β1)2α1β1=β12(k+1)2kβ12=(k+1)2k\frac{(\alpha_1 + \beta_1)^2}{\alpha_1 \beta_1} = \frac{\beta_1^2(k + 1)^2}{k\beta_1^2} = \frac{(k + 1)^2}{k}
    বা, (−b/a)2c/a=(k+1)2k  ⟹  b2ac=(k+1)2k\frac{(-b/a)^2}{c/a} = \frac{(k + 1)^2}{k} \implies \frac{b^2}{ac} = \frac{(k + 1)^2}{k} ... (iii)

    অনুরূপভাবে, (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
    α2+β2=−ml\alpha_2 + \beta_2 = -\frac{m}{l}
    α2β2=nl\alpha_2 \beta_2 = \frac{n}{l}

    ∴(α2+β2)2α2β2=(k+1)2k\therefore \frac{(\alpha_2 + \beta_2)^2}{\alpha_2 \beta_2} = \frac{(k + 1)^2}{k}
    বা, (−m/l)2n/l=(k+1)2k  ⟹  m2ln=(k+1)2k\frac{(-m/l)^2}{n/l} = \frac{(k + 1)^2}{k} \implies \frac{m^2}{ln} = \frac{(k + 1)^2}{k} ... (iv)

    (iii) ও (iv) হতে পাই,
    b2ac=m2ln\frac{b^2}{ac} = \frac{m^2}{ln}
    বা, b2ln=m2acb^2 ln = m^2 ac
    বা, b2ln−m2ca=0b^2 ln - m^2 ca = 0 (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন