উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $p(x) = 2x + 1$ এবং $g(x) = 4$

   সংজ্ঞার্থ অনুসারে,
   $(g \circ p)(x) = g(p(x)) = g(2x + 1)$
   যেহেতু $g(x)$ একটি ধ্রুবক ফাংশন যার মান সর্বদা $4$,
   সুতরাং, $(g \circ p)(x) = 4$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x-1}{3x-2}$
   [উল্লেখ্য: উদ্দীপকে ফাংশনটির ডোমেন $R - \left\{\frac{3}{2}\right\}$ মুদ্রিত আছে, যদিও ফাংশনের সংজ্ঞায়ন অনুসারে ডোমেন হওয়া সমীচীন $R - \left\{\frac{2}{3}\right\}$।]

   এক-এক যাচাই:
   ধরি, $x_1, x_2 \in \text{Domain } f$
   $f(x_1) = f(x_2)$
   $\implies \frac{x_1 - 1}{3x_1 - 2} = \frac{x_2 - 1}{3x_2 - 2}$
   $\implies (x_1 - 1)(3x_2 - 2) = (x_2 - 1)(3x_1 - 2)$
   $\implies 3x_1x_2 - 2x_1 - 3x_2 + 2 = 3x_1x_2 - 2x_2 - 3x_1 + 2$
   $\implies -2x_1 - 3x_2 = -2x_2 - 3x_1$
   $\implies 3x_1 - 2x_1 = 3x_2 - 2x_2$
   $\implies x_1 = x_2$
   সুতরাং, $f(x)$ ফাংশনটি এক-এক (One-to-one)।

   সার্বিক (On-to) যাচাই:
   ধরি, $y = f(x) = \frac{x-1}{3x-2}$
   $\implies y(3x - 2) = x - 1$
   $\implies 3xy - 2y = x - 1$
   $\implies 3xy - x = 2y - 1$
   $\implies x(3y - 1) = 2y - 1$
   $\implies x = \frac{2y - 1}{3y - 1}$

   $x$-এর মান বাস্তব হবে যদি ও কেবল যদি $3y - 1 \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{3}$ হয়।
   অতএব, $f$ ফাংশনের রেঞ্জ $= R - \left\{\frac{1}{3}\right\}$।
   কিন্তু ফাংশনটির কোডোমেন দেওয়া আছে $R$।
   যেহেতু রেঞ্জ $\neq$ কোডোমেন, তাই ফাংশনটি সার্বিক (On-to) নয়।

   অতএব, $f$ ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে মোট পতাকার সংখ্যা = ১টি হলুদ (Y) + ২টি সবুজ (G) + ৩টি লাল (R) = ৬টি পতাকা।
   ৪টি পতাকার সারিতে সংকেত তৈরির সম্ভাব্য ক্ষেত্রগুলো নিচে আলোচনা করা হলো:

   ১. ১টি বর্ণ ৩ বার ও অন্য বর্ণ ১ বার নিয়ে:
   ৩টি লাল (R) এবং হলুদ বা সবুজ থেকে ১টি নির্বাচন করা যায় $^2C_1 = 2$ উপায়ে।
   এদের সাজানো যায়: $\frac{4!}{3!} = 4$ উপায়ে।
   মোট সংকেত সংখ্যা $= 2 \times 4 = 8$ টি।

   ২. ১টি বর্ণ ২ বার ও অন্য বর্ণ ২ বার নিয়ে:
   সবুজ ২টি (G, G) এবং লাল ২টি (R, R) নিয়ে ৪টি পতাকার দল গঠন করা যায় ১ উপায়ে।
   এদের সাজানো যায়: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ উপায়ে।
   মোট সংকেত সংখ্যা $= 1 \times 6 = 6$ টি।

   ৩. ১টি বর্ণ ২ বার এবং অপর দুটি বর্ণ ১ বার করে নিয়ে:
   (i) ২টি লাল (R) এবং ১টি সবুজ ও ১টি হলুদ নিয়ে সাজানো যায়: $\frac{4!}{2!} = 12$ উপায়ে।
   (ii) ২টি সবুজ (G) এবং ১টি লাল ও ১টি হলুদ নিয়ে সাজানো যায়: $\frac{4!}{2!} = 12$ উপায়ে।
   মোট সংকেত সংখ্যা $= 12 + 12 = 24$ টি।

   (উল্লেখ্য, ৩টি ভিন্ন বর্ণ থাকায় ৪টি বর্ণই ভিন্ন হওয়া সম্ভব নয়।)

   অতএব, মোট তৈরি করা সংকেতের সংখ্যা $= 8 + 6 + 24 = 38$ টি।