উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+7x}-\sqrt{1-5x}}{x}$
   লব ও হরকে $(\sqrt{1+7x}+\sqrt{1-5x})$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+7x}-\sqrt{1-5x})(\sqrt{1+7x}+\sqrt{1-5x})}{x(\sqrt{1+7x}+\sqrt{1-5x})}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+7x)-(1-5x)}{x(\sqrt{1+7x}+\sqrt{1-5x})}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{12x}{x(\sqrt{1+7x}+\sqrt{1-5x})}$
   যেহেতু $x \rightarrow 0$, তাই $x \neq 0$, সুতরাং লব ও হর থেকে $x$ বাদ দিয়ে পাই,
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{12}{\sqrt{1+7x}+\sqrt{1-5x}}$
   $= \frac{12}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} = \frac{12}{1+1} = \frac{12}{2} = 6$
   \nনির্ণেয় মান: $6$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $t = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right) + x^{\sin^{-1}x}$
   ধরি, $u = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)$ এবং $v = x^{\sin^{-1}x}$
   অতএব, $t = u + v \implies \frac{dt}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$

   এখন,
   $u = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2\sqrt{x}}{1-(2\sqrt{x})^2}\right) = 2\tan^{-1}(2\sqrt{x})$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{du}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(2\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})$
   $= \frac{2}{1+4x} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}$

   আবার,
   $v = x^{\sin^{-1}x}$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
   $\ln v = \sin^{-1}x \ln x$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) \cdot \ln x + \sin^{-1}x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
   $\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ln x + \frac{\sin^{-1}x}{x}$
   $\frac{dv}{dx} = x^{\sin^{-1}x}\left(\frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}x}{x}\right)$

   সুতরাং,
   $\frac{dt}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)} + x^{\sin^{-1}x}\left(\frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}x}{x}\right)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

   (i) ফাংশনটি বৃদ্ধি পাবে যদি $f'(x) > 0$ হয়:
   $3(x-1)(x-3) > 0$
   $\implies (x-1)(x-3) > 0$
   এটি সত্য হবে যখন $x < 1$ অথবা $x > 3$ হয়।
   অতএব, বৃদ্ধি পাওয়ার ব্যবধি: $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ [বা, $x < 1$ অথবা $x > 3$]।

   (ii) ফাংশনটি হ্রাস পাবে যদি $f'(x) < 0$ হয়:
   $3(x-1)(x-3) < 0$
   $\implies (x-1)(x-3) < 0$
   এটি সত্য হবে যখন $1 < x < 3$ হয়।
   অতএব, হ্রাস পাওয়ার ব্যবধি: $(1, 3)$ [বা, $1 < x < 3$]।