∫0π/2cos⁡5xsin⁡x dx \int_{0}^{\pi/2} \cos^5 x \sin x \, dx এর মান:

Question

∫0π/2cos⁡5xsin⁡x dx \int_{0}^{\pi/2} \cos^5 x \sin x \, dx এর মান:

Accepted Answer

খ. 16 \frac{1}{6}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\pi/2} \cos^5 x \sin x \, dx$$

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে:
ধরি, $u = \cos x$
সুতরাং, $du = -\sin x \, dx \implies \sin x \, dx = -du$

সীমা পরিবর্তন:
- যখন $x = 0$, তখন $u = \cos 0 = 1$
- যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $u = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

অতএব,
$$I = \int_{1}^{0} u^5 (-du) = \int_{0}^{1} u^5 \, du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6}$$

সুতরাং সঠিক মান হলো $\frac{1}{6}$ (Option 2)।

গণিত প্রশ্ন