গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের পরিধি $=2\pi r$

   শর্তমতে, $2\pi r=16\pi$

   বা, $r=\dfrac{16\pi}{2\pi}=8$

   সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $\mathbf{8}$ মিটার।

2. খ)

   দেওয়া আছে, $L$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $MN$ ও $NQ$ দুইটি জ্যা এবং $MN=NQ$। প্রমাণ করতে হবে, $L$ থেকে $MN$ ও $NQ$ এর দূরত্ব সমান।

   অঙ্কন: $L$ থেকে $MN$ ও $NQ$ এর উপর যথাক্রমে $LA$ ও $LB$ লম্ব আঁকি। $L,N$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AN=\frac12MN$ এবং $BN=\frac12NQ$।

   $MN=NQ$ হওয়ায় $AN=BN$।

   এখন সমকোণী $\triangle LAN$ ও $\triangle LBN$ এ
   তার $LN$ সাধারণ বাহু (অতিভুজ), $AN=BN$, $\angle LAN=\angle LBN=90^\circ$।

   সুতরাং $\triangle LAN\cong\triangle LBN$ (অতিভুজ-বাহু)।

   অতএব $LA=LB$। অর্থাৎ, $MN$ ও $NQ$ জ্যাদ্বয় কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

3. গ)

   চিত্রে $L$ বৃত্তের কেন্দ্র; $MQ$ ও $NP$ কর্ণদ্বয় $R$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

   $MN$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle MLN$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle MQN$। তাই $\angle MLN=2\angle MQN$ ...(i)

   $QP$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle QLP$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle QNP$। তাই $\angle QLP=2\angle QNP$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle MLN+\angle QLP=2(\angle MQN+\angle QNP)$ ...(iii)

   এখন $\triangle QRN$ এ $QR$ কে $M$ পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে। বহিঃস্থ কোণ $\angle MRN=\angle RQN+\angle RNQ=\angle MQN+\angle QNP$ ...(iv)

   (iii) ও (iv) থেকে, $\angle MLN+\angle QLP=2\angle MRN$। (প্রমাণিত)