উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $y = x^{\cot^{-1} x}$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম (ln) নিয়ে পাই,
   $\ln y = \cot^{-1} x \cdot \ln x$

   এখন, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) \cdot \ln x + \cot^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + x^2} \cdot \ln x + \cot^{-1} x \cdot \frac{1}{x}$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\cot^{-1} x}{x} - \frac{\ln x}{1 + x^2} \right)$
   $\therefore \frac{d}{dx}(x^{\cot^{-1} x}) = x^{\cot^{-1} x} \left( \frac{\cot^{-1} x}{x} - \frac{\ln x}{1 + x^2} \right)$ (উত্তর)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = 1 + x + \frac{1}{x}$
   $\therefore f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$
   এবং $f''(x) = \frac{2}{x^3}$

   চরম মান (গুরুমান বা লঘুমান) এর জন্য, $f'(x) = 0$
   $\Rightarrow 1 - \frac{1}{x^2} = 0$
   $\Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

   এখন,
   $x = 1$ হলে, $f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$
   সুতরাং, $x = 1$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ লঘুমান $= f(1) = 1 + 1 + \frac{1}{1} = 3$

   আবার,
   $x = -1$ হলে, $f''(-1) = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$
   সুতরাং, $x = -1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ গুরুমান $= f(-1) = 1 + (-1) + \frac{1}{-1} = -1$

   যেহেতু লঘুমান $3$ এবং গুরুমান $-1$, এবং $3 > -1$,
   $\therefore$ ফাংশনটির লঘুমান ইহার গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বক্ররেখার সমীকরণ: $g(x, y) = 0$
   $\Rightarrow y(x - 2)(x - 3) - x + 10 = 0$ .... (i)

   যেহেতু বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে ছেদ করে, তাই ঐ বিন্দুতে $y = 0$ হবে।
   (i) নং সমীকরণে $y = 0$ বসিয়ে পাই,
   $0 - x + 10 = 0 \Rightarrow x = 10$
   $\therefore$ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(10, 0)$।

   এখন, (i) নং সমীকরণকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx}(x - 2)(x - 3) + y \frac{d}{dx}[(x - 2)(x - 3)] - 1 = 0$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x - 2)(x - 3) + y(2x - 5) = 1$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y(2x - 5)}{(x - 2)(x - 3)}$

   $(10, 0)$ বিন্দুতে ঢাল,
   $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(10, 0)} = \frac{1 - 0}{(10 - 2)(10 - 3)} = \frac{1}{8 \times 7} = \frac{1}{56}$

   $(10, 0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - 0 = m(x - 10)$
   $\Rightarrow y = \frac{1}{56}(x - 10)$
   $\Rightarrow 56y = x - 10$
   $\Rightarrow x - 56y - 10 = 0$ (উত্তর)

   $(10, 0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - 0 = -\frac{1}{m}(x - 10)$
   $\Rightarrow y = -56(x - 10)$
   $\Rightarrow y = -56x + 560$
   $\Rightarrow 56x + y - 560 = 0$ (উত্তর)