p,q,r p, q, r এবং s s ক্রমিক সমানুপাতিক এবং 2x=1a+1b fr…

গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৪

p,q,r p, q, r এবং s s ক্রমিক সমানুপাতিক এবং 2x=1a+1b \frac{2}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}

ক)
দুইটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে m m একক এবং n n একক। তাদের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।
(1)
খ)
প্রমাণ কর যে, (p2−q2+r2)(q2−r2+s2)=(pq−qr+rs)2 \left(p^{2}-q^{2}+r^{2}\right)\left(q^{2}-r^{2}+s^{2}\right)=(p q-q r+r s)^{2} \quad
(2)
গ)
প্রমাণ কর যে, x+ax−a+x+bx−b=2,a≠b \frac{\mathrm{x}+\mathrm{a}}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{x}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}-\mathrm{b}}=2, \mathrm{a} \neq \mathrm{b}
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
বর্গের বাহু $m$ হলে কর্ণ $= m\sqrt{2}$ এবং বাহু $n$ হলে কর্ণ $= n\sqrt{2}$ ।
কর্ণদ্বয়ের অনুপাত $= m\sqrt{2} : n\sqrt{2} = \mathbf{m : n}$ ।
খ)
ধরি $\dfrac{p}{q} = \dfrac{q}{r} = \dfrac{r}{s} = k$ । তাহলে $r = sk,\ q = rk = sk^2,\ p = qk = sk^3$ ।
বামপক্ষ: $p^2 - q^2 + r^2 = s^2(k^6 - k^4 + k^2) = s^2k^2(k^4 - k^2 + 1)$
এবং $q^2 - r^2 + s^2 = s^2(k^4 - k^2 + 1)$
তাই বামপক্ষ $= s^4k^2(k^4 - k^2 + 1)^2$
ডানপক্ষ: $pq - qr + rs = s^2(k^5 - k^3 + k) = s^2k(k^4 - k^2 + 1)$
তাই ডানপক্ষ $= s^4k^2(k^4 - k^2 + 1)^2$ । বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
গ)
$\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab}$ , তাই $x = \dfrac{2ab}{a+b}$ ।
$\dfrac{x}{a} = \dfrac{2b}{a+b}$ ও $\dfrac{x}{b} = \dfrac{2a}{a+b}$ ।
$\dfrac{x+a}{x-a} = \dfrac{\frac{x}{a}+1}{\frac{x}{a}-1} = \dfrac{2b+a+b}{2b-a-b} = \dfrac{a+3b}{b-a}$
$\dfrac{x+b}{x-b} = \dfrac{\frac{x}{b}+1}{\frac{x}{b}-1} = \dfrac{2a+a+b}{2a-a-b} = \dfrac{3a+b}{a-b} = -\dfrac{3a+b}{b-a}$
যোগ করে $\dfrac{a+3b-3a-b}{b-a} = \dfrac{2(b-a)}{b-a} = 2$ । (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও