উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=2π15,α+β+γ=π A=\frac{2 \pi}{15}, \alpha+\beta+\gamma=\pi এবং cos⁡α=cos⁡βcos⁡γ \cos \alpha=\cos \beta \cos \gamma

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, cos⁡2p=1−tan⁡2p1+tan⁡2p \cos 2 p=\frac{1-\tan ^{2} p}{1+\tan ^{2} p}

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে, প্রমাণ কর যে, 16cos⁡Acos⁡2Acos⁡4Acos⁡7A=1 16 \cos A \cos 2 A \cos 4 A \cos 7 A=1

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক থেকে দেখাও যে, tan⁡α=tan⁡β+tan⁡γ \tan \alpha=\tan \beta+\tan \gamma

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ডানপক্ষ = 1−tan⁡2p1+tan⁡2p\frac{1 - \tan^2 p}{1 + \tan^2 p}
    =1−sin⁡2pcos⁡2p1+sin⁡2pcos⁡2p= \frac{1 - \frac{\sin^2 p}{\cos^2 p}}{1 + \frac{\sin^2 p}{\cos^2 p}}
    =cos⁡2p−sin⁡2pcos⁡2pcos⁡2p+sin⁡2pcos⁡2p= \frac{\frac{\cos^2 p - \sin^2 p}{\cos^2 p}}{\frac{\cos^2 p + \sin^2 p}{\cos^2 p}}
    =cos⁡2p−sin⁡2pcos⁡2p+sin⁡2p= \frac{\cos^2 p - \sin^2 p}{\cos^2 p + \sin^2 p}
    যেহেতু cos⁡2p−sin⁡2p=cos⁡2p\cos^2 p - \sin^2 p = \cos 2p এবং cos⁡2p+sin⁡2p=1\cos^2 p + \sin^2 p = 1,
    =cos⁡2p1=cos⁡2p== \frac{\cos 2p}{1} = \cos 2p = বামপক্ষ।
    ∴cos⁡2p=1−tan⁡2p1+tan⁡2p\therefore \cos 2p = \frac{1 - \tan^2 p}{1 + \tan^2 p} (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=2π15  ⟹  15A=2π  ⟹  8A+7A=2π  ⟹  8A=2π−7AA = \frac{2\pi}{15} \implies 15A = 2\pi \implies 8A + 7A = 2\pi \implies 8A = 2\pi - 7A
    ∴sin⁡8A=sin⁡(2π−7A)=−sin⁡7A\therefore \sin 8A = \sin(2\pi - 7A) = -\sin 7A

    বামপক্ষ =16cos⁡Acos⁡2Acos⁡4Acos⁡7A= 16 \cos A \cos 2A \cos 4A \cos 7A
    =8⋅(2sin⁡Acos⁡A)cos⁡2Acos⁡4Acos⁡7Asin⁡A= \frac{8 \cdot (2 \sin A \cos A) \cos 2A \cos 4A \cos 7A}{\sin A}
    =8sin⁡2Acos⁡2Acos⁡4Acos⁡7Asin⁡A= \frac{8 \sin 2A \cos 2A \cos 4A \cos 7A}{\sin A}
    =4⋅(2sin⁡2Acos⁡2A)cos⁡4Acos⁡7Asin⁡A= \frac{4 \cdot (2 \sin 2A \cos 2A) \cos 4A \cos 7A}{\sin A}
    =4sin⁡4Acos⁡4Acos⁡7Asin⁡A= \frac{4 \sin 4A \cos 4A \cos 7A}{\sin A}
    =2⋅(2sin⁡4Acos⁡4A)cos⁡7Asin⁡A= \frac{2 \cdot (2 \sin 4A \cos 4A) \cos 7A}{\sin A}
    =2sin⁡8Acos⁡7Asin⁡A= \frac{2 \sin 8A \cos 7A}{\sin A}
    =2(−sin⁡7A)cos⁡7Asin⁡A= \frac{2 (-\sin 7A) \cos 7A}{\sin A}
    =−2sin⁡7Acos⁡7Asin⁡A= -\frac{2 \sin 7A \cos 7A}{\sin A}
    =−sin⁡14Asin⁡A= -\frac{\sin 14A}{\sin A}

    আবার, 15A=2π  ⟹  14A=2π−A15A = 2\pi \implies 14A = 2\pi - A
    অতএব, sin⁡14A=sin⁡(2π−A)=−sin⁡A\sin 14A = \sin(2\pi - A) = -\sin A

    ∴\therefore বামপক্ষ =−−sin⁡Asin⁡A=1== -\frac{-\sin A}{\sin A} = 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi
    বা, α=π−(β+γ)\alpha = \pi - (\beta + \gamma)
    উভয়পক্ষে cos⁡\cos নিয়ে পাই,
    cos⁡α=cos⁡(π−(β+γ))=−cos⁡(β+γ)\cos \alpha = \cos(\pi - (\beta + \gamma)) = -\cos(\beta + \gamma)
      ⟹  cos⁡α=−(cos⁡βcos⁡γ−sin⁡βsin⁡γ)\implies \cos \alpha = -(\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma)
      ⟹  cos⁡α=−cos⁡βcos⁡γ+sin⁡βsin⁡γ\implies \cos \alpha = -\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma

    দেওয়া আছে, cos⁡α=cos⁡βcos⁡γ\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma, মান বসিয়ে পাই,
    cos⁡α=−cos⁡α+sin⁡βsin⁡γ\cos \alpha = -\cos \alpha + \sin \beta \sin \gamma
      ⟹  2cos⁡α=sin⁡βsin⁡γ\implies 2\cos \alpha = \sin \beta \sin \gamma

    এখন,
    tan⁡β+tan⁡γ=sin⁡βcos⁡β+sin⁡γcos⁡γ\tan \beta + \tan \gamma = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma}
    =sin⁡βcos⁡γ+cos⁡βsin⁡γcos⁡βcos⁡γ= \frac{\sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma}{\cos \beta \cos \gamma}
    =sin⁡(β+γ)cos⁡βcos⁡γ= \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\cos \beta \cos \gamma}

    যেহেতু α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi, তাই β+γ=π−α\beta + \gamma = \pi - \alpha
    ∴sin⁡(β+γ)=sin⁡(π−α)=sin⁡α\therefore \sin(\beta + \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha
    এবং দেওয়া আছে, cos⁡βcos⁡γ=cos⁡α\cos \beta \cos \gamma = \cos \alpha

    সুতরাং,
    tan⁡β+tan⁡γ=sin⁡αcos⁡α=tan⁡α\tan \beta + \tan \gamma = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha
    ∴tan⁡α=tan⁡β+tan⁡γ\therefore \tan \alpha = \tan \beta + \tan \gamma (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন