গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

6y−1=m−1+n−1 6 y^{-1}=m^{-1}+n^{-1} এবং m2−2mx+1=0 m^{2}-\frac{2 m}{x}+1=0

  1. ক)

    a+b+c=0 a+b+c=0 হলে, প্রমাণ কর যে, a3+b3+c3=3abc a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, y+3my−3m+y+3ny−3n=2;m≠n \frac{y+3 m}{y-3 m}+\frac{y+3 n}{y-3 n}=2 ; m \neq n .

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, m=1+x+1−x1+x−1−x m=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    a+b+c=0a + b + c = 0 হলে a+b=−ca + b = -c।
    ঘন করে (a+b)3=−c3(a+b)^3 = -c^3 বা a3+b3+3ab(a+b)=−c3a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = -c^3
    বা a3+b3+3ab(−c)=−c3a^3 + b^3 + 3ab(-c) = -c^3 বা a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    দেওয়া আছে 6y=1m+1n=m+nmn\dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{m+n}{mn}, তাই y=6mnm+ny = \dfrac{6mn}{m+n}।
    তাহলে y3m=2nm+n\dfrac{y}{3m} = \dfrac{2n}{m+n} এবং y3n=2mm+n\dfrac{y}{3n} = \dfrac{2m}{m+n}।
    y+3my−3m=y3m+1y3m−1=2n+(m+n)2n−(m+n)=m+3nn−m\dfrac{y+3m}{y-3m} = \dfrac{\frac{y}{3m}+1}{\frac{y}{3m}-1} = \dfrac{2n + (m+n)}{2n - (m+n)} = \dfrac{m+3n}{n-m}
    y+3ny−3n=2m+(m+n)2m−(m+n)=3m+nm−n=−3m+nn−m\dfrac{y+3n}{y-3n} = \dfrac{2m + (m+n)}{2m - (m+n)} = \dfrac{3m+n}{m-n} = -\dfrac{3m+n}{n-m}
    যোগ করে m+3n−3m−nn−m=2n−2mn−m=2\dfrac{m+3n-3m-n}{n-m} = \dfrac{2n-2m}{n-m} = 2। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    m2−2mx+1=0m^2 - \dfrac{2m}{x} + 1 = 0 থেকে m2+1=2mxm^2 + 1 = \dfrac{2m}{x}, অর্থাৎ m+1m=2xm + \dfrac{1}{m} = \dfrac{2}{x}।
    যোজন-বিয়োজন করে m+1m+2m+1m−2=2x+22x−2\dfrac{m+\frac{1}{m}+2}{m+\frac{1}{m}-2} = \dfrac{\frac{2}{x}+2}{\frac{2}{x}-2}
    বা (m+1)2(m−1)2=1+x1−x\dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{1+x}{1-x}
    বা m+1m−1=1+x1−x\dfrac{m+1}{m-1} = \dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} (ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে)
    আবার যোজন-বিয়োজন করে (m+1)+(m−1)(m+1)−(m−1)=1+x+1−x1+x−1−x\dfrac{(m+1)+(m-1)}{(m+1)-(m-1)} = \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}
    বা 2m2=1+x+1−x1+x−1−x\dfrac{2m}{2} = \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}
    অতএব, m=1+x+1−x1+x−1−xm = \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন