গণিত • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৪

গণিত প্রশ্ন

চিত্রে, C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OQ স্পর্শক এবং CQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

  1. ক)

    CQ=3.5 cm \mathrm{CQ}=3.5 \mathrm{~cm} হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, ∠RCS=2∠RPS \angle \mathrm{RCS}=2 \angle \mathrm{RPS}

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, OQ⊥CQ\mathrm{OQ} \perp \mathrm{CQ} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    বৃত্তের ব্যাসার্ধ r=CQ=3.5r=CQ=3.5 সেমি.।

    ক্ষেত্রফল =πr2=227×(3.5)2=227×12.25=38.5=\pi r^2=\frac{22}{7}\times(3.5)^2=\frac{22}{7}\times12.25=\mathbf{38.5} বর্গ সেমি.

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: CC কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠RPS\angle RPS বৃত্তস্থ কোণ এবং ∠RCS\angle RCS কেন্দ্রস্থ কোণ; উভয়ই RQSRQS চাপের ওপর দণ্ডায়মান। প্রমাণ করতে হবে, ∠RCS=2∠RPS\angle RCS=2\angle RPS।

    অঙ্কন: PP ও CC যোগ করে TT পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন PTPT বৃত্তকে TT বিন্দুতে ছেদ করে। C,RC,R এবং C,SC,S যোগ করি।

    প্রমাণ: △PCR\triangle PCR-এ CP=CRCP=CR (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই ∠CPR=∠CRP\angle CPR=\angle CRP। বহিঃস্থ কোণ ∠RCT=∠CPR+∠CRP=2∠CPR\angle RCT=\angle CPR+\angle CRP=2\angle CPR।

    একইভাবে △PCS\triangle PCS-এ ∠SCT=2∠CPS\angle SCT=2\angle CPS।

    যোগ করে, ∠RCT+∠SCT=2(∠CPR+∠CPS)\angle RCT+\angle SCT=2(\angle CPR+\angle CPS)

    ∴∠RCS=2∠RPS\therefore \angle RCS=2\angle RPS (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: CC কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের QQ বিন্দুতে OQOQ স্পর্শক এবং CQCQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে, OQ⊥CQOQ\perp CQ।

    অঙ্কন: স্পর্শক OQOQ রেখার ওপর QQ ভিন্ন যেকোনো একটি বিন্দু MM নিই এবং C,MC,M যোগ করি।

    প্রমাণ: স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু ছাড়া অন্য সব বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থান করে। তাই MM বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু এবং CMCM বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে ছেদ করে; ফলে CM>CM> ব্যাসার্ধ =CQ=CQ।

    অর্থাৎ MM যেকোনো বিন্দু হলেও CQ<CMCQ<CM, তাই CC থেকে OQOQ রেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো CQCQ। কোনো বিন্দু থেকে রেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব লম্ব দূরত্ব।

    ∴CQ⊥OQ\therefore CQ\perp OQ, অর্থাৎ OQ⊥CQOQ\perp CQ (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন