গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$-এর সমকোণটি $A$ বিন্দুতে অবস্থিত।
$A$ কে মূলবিন্দু $(0, 0)$ ধরে, $AB$ বাহু বরাবর $x$-অক্ষ এবং $AC$ বাহু বরাবর $y$-অক্ষ বিবেচনা করি।
অতএব, বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক:
$A(0, 0)$, $B(4, 0)$ এবং $C(0, 4)$।

যেহেতু $A$ ও $B$ বিন্দুতে বলটির ভ্রামক সমান (উভয় ক্ষেত্রে $8\text{ kg-m}$), তাই বলের ক্রিয়াশীল রেখাটি $AB$ বাহুর সমান্তরাল।
অতএব, বলটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল, অর্থাৎ বলের কোনো $y$-উপাংশ নেই ($F_y = 0$)।
ধরি, বলটির মান $F$ এবং এটি $AB$ (বা $x$-অক্ষ) থেকে $d$ দূরত্বে সমান্তরালভাবে ক্রিয়াশীল, যার সমীকরণ $y = d$।

$A(0, 0)$ সাপেক্ষে বলের ভ্রামক:
$\text{ভ্রামক} = F \times d = 8\text{ kg-m}$

$C(0, 4)$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলটির লম্ব দূরত্ব $|4 - d|$।
যেহেতু $C$ বিন্দুতে ভ্রামক $16\text{ kg-m}$ (যা $A$ বিন্দুর চেয়ে বেশি), ভ্রামকদ্বয় একই ঘূর্ণন দিক সম্পন্ন বিবেচনা করলে:
$F \times |4 - d| = 16$

যদি বলের ক্রিয়াশীল রেখা $AB$ এর যে পাশে $C$ অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বা $A$ ও $C$ এর মাঝে হয়:
$F \cdot d = 8$
এবং $F(4 + d) = 16$ হতে পারে (যদি বলের রেখা $AB$ এর নিচে থাকে, তবে $C$ থেকে দূরত্ব $4+d$):
$\frac{F(4 + d)}{Fd} = \frac{16}{8} = 2$
$\Rightarrow 4 + d = 2d \Rightarrow d = 4\text{ m}$

অতএব, $F = \frac{8}{d} = \frac{8}{4} = 2\text{ kg-wt}$ (বা $2g\text{ N}$)।

বলটির গতিপথ: $AB$ বাহুর সমান্তরাল এবং $AB$ থেকে $C$ এর বিপরীত দিকে $4\text{ m}$ দূরত্বে অবস্থিত একটি সরলরেখা (অর্থাৎ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রেখাটির সমীকরণ $y = -4$)।

[বিকল্পভাবে, যদি একককে বলের একক হিসেবে ধরা হয়]:
বলটির মান $2\text{ kg}$ (বা $2\text{ kg-wt}$) এবং গতিপথ $AB$ বাহুর সমান্তরাল রেখা বরাবর যা $C$-এর বিপরীত দিকে $AB$ হতে $4\text{ m}$ দূরে অবস্থিত।