উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৯
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
একটি ট্রেন এক স্টেশন হতে যাত্রা ওরু করে t t মিনিট পর s s কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে অপর একটি স্টেশনে থামে। ট্রেনটি যাত্রার প্রথম অংশ x x সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ y y সমমন্দনে চলে। ভূমি থেকে প্রক্ষিপ্ত একটি ক্রিকেট বল প্রক্ষিপ্ত বিন্দু হতে যথাক্রমে 1b \frac{1}{b} এবং 1a \frac{1}{a} দূরে অবস্থিত 1a \frac{1}{a} এবং 1b \frac{1}{b} উচ্চতার দুইটি দেওয়াল কোনোরকমে অতিক্রম করে।
- ক)(1)
সমতলে একটি বস্তুকণা u আদিবেগে a a সমত্বরণে t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে t t তম সময়ে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
- খ)(2)
উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, 1x+1y=t22s \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{t^{2}}{2 s}
- গ)(3)
উদ্দীপক হতে দেখাও যে, আনুভূমিক পাল্পা R=a2+ab+b2(a+b)abR=\frac{a^2+ab+b^2}{\left(a+b\right)ab}
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
আমরা জানি, t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব s_t = u t + 1/2 a t^2
এবং (t - 1) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব s_(t-1) = u (t - 1) + 1/2 a (t - 1)^2অতএব, t-তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
s_t-th = s_t - s_(t-1)
= [u t + 1/2 a t^2] - [u (t - 1) + 1/2 a (t - 1)^2]
= u t + 1/2 a t^2 - u t + u - 1/2 a (t^2 - 2t + 1)
= u + 1/2 a t^2 - 1/2 a t^2 + a t - 1/2 a
= u + 1/2 a (2t - 1)।সুতরাং, t-তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব = u + 1/2 a (2t - 1)।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
মনে করি, ট্রেনটি যাত্রার প্রথম অংশে t_1 সময়ে x সমত্বরণে চলে v সর্বোচ্চ বেগ অর্জন করে এবং দ্বিতীয় অংশে t_2 সময়ে y সমমন্দনে চলে থেমে যায়।
ত্বরণের ক্ষেত্রে: v = 0 + x t_1 ⇒ t_1 = v / x
মন্দনের ক্ষেত্রে: 0 = v - y t_2 ⇒ t_2 = v / yমোট সময়, t = t_1 + t_2 = v / x + v / y = v (1/x + 1/y) ...... (১)
প্রথম অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s_1 = (0 + v)/2 * t_1 = (v t_1) / 2
দ্বিতীয় অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s_2 = (v + 0)/2 * t_2 = (v t_2) / 2মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, s = s_1 + s_2 = (v / 2) (t_1 + t_2) = (v * t) / 2
⇒ v = 2s / t ...... (২)(১) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই,
t = (2s / t) * (1/x + 1/y)
⇒ t^2 / (2s) = 1/x + 1/y
⇒ 1/x + 1/y = t^2 / (2s) (প্রমাণিত)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রক্ষেপকের ক্ষেত্রে আনুভূমিক পাল্লা R হলে ট্র্যাজেক্টোরির সমীকরণ:
y = x tan α (1 - x / R)বলটি (1/b, 1/a) এবং (1/a, 1/b) বিন্দুগামী।
প্রথম বিন্দুর জন্য,
1/a = (1/b) tan α (1 - 1/(b R))
⇒ b/a = tan α [(b R - 1) / (b R)] ...... (১)দ্বিতীয় বিন্দুর জন্য,
1/b = (1/a) tan α (1 - 1/(a R))
⇒ a/b = tan α [(a R - 1) / (a R)] ...... (২)(১) নং কে (২) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
(b/a) / (a/b) = [tan α (b R - 1) / (b R)] / [tan α (a R - 1) / (a R)]
⇒ b^2 / a^2 = [a (b R - 1)] / [b (a R - 1)]
⇒ b^3 / a^3 = (b R - 1) / (a R - 1)
⇒ b^3 (a R - 1) = a^3 (b R - 1)
⇒ a b^3 R - b^3 = a^3 b R - a^3
⇒ a^3 - b^3 = a^3 b R - a b^3 R
⇒ a^3 - b^3 = a b R (a^2 - b^2)
⇒ (a - b)(a^2 + a b + b^2) = a b R (a - b)(a + b)উভয়পক্ষকে (a - b) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু a ≠ b),
a^2 + a b + b^2 = a b (a + b) R
⇒ R = (a^2 + a b + b^2) / [(a + b) a b] (দেখানো হলো)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও