উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তের কেন্দ্র $(-3, 1)$।
   যেহেতু বৃত্তটি $y$-অক্ষকে স্পর্শ করে, সুতরাং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r = |-3| = 3$।
   বৃত্তটির সমীকরণ:
   $(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$
   $\implies (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$
   $\implies x^2 + 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 9$
   $\implies x^2 + y^2 + 6x - 2y + 1 = 0$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (ii) নং বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 16x + 3 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $= \left(-\frac{16}{2}, -\frac{0}{2}\right) = (-8, 0)$।
   প্রশ্নানুসারে, নির্ণেয় বৃত্তটি (ii) নং বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রীক, তাই নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $(-8, 0)$।

   (i) নং বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 6x - 8 = 0$
   এতে $x = 4$ বসিয়ে পাই,
   $4^2 + y^2 - 6(4) - 8 = 0$
   $\implies 16 + y^2 - 24 - 8 = 0$
   $\implies y^2 - 16 = 0$
   $\implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$
   অতএব, (i) নং বৃত্ত ও $x = 4$ রেখার ছেদবিন্দুদ্বয় $(4, 4)$ এবং $(4, -4)$।

   নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের বর্গ, $R^2 = (4 - (-8))^2 + (4 - 0)^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$।
   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - (-8))^2 + (y - 0)^2 = R^2$
   $\implies (x + 8)^2 + y^2 = 160$
   $\implies x^2 + 16x + 64 + y^2 - 160 = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 16x - 96 = 0$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্ত দুটি:
   $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 6x - 8 = 0$ ..... (i)
   $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 16x + 3 = 0$ ..... (ii)

   বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
   $S_1 - S_2 = 0$
   $\implies (x^2 + y^2 - 6x - 8) - (x^2 + y^2 + 16x + 3) = 0$
   $\implies -22x - 11 = 0$
   $\implies 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ ..... (iii)

   (i) নং সমীকরণে $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,
   $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - 6\left(-\frac{1}{2}\right) - 8 = 0$
   $\implies \frac{1}{4} + y^2 + 3 - 8 = 0$
   $\implies y^2 - 5 + \frac{1}{4} = 0$
   $\implies y^2 - \frac{19}{4} = 0$
   $\implies y = \pm \frac{\sqrt{19}}{2}$

   অতএব, সাধারণ জ্যা-এর প্রান্তবিন্দুদ্বয় $A\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{19}}{2}\right)$ এবং $B\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)$।

   $AB$-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
   $\implies \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) + \left(y - \frac{\sqrt{19}}{2}\right)\left(y + \frac{\sqrt{19}}{2}\right) = 0$
   $\implies \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - \frac{19}{4} = 0$
   $\implies x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 - \frac{19}{4} = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + x - \frac{18}{4} = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + x - \frac{9}{2} = 0$
   $\implies 2x^2 + 2y^2 + 2x - 9 = 0$ (Ans.)