উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   খণ্ডশ যোগজীকরণ (Integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করে,
   $\int \ln x \, dx = \int (\ln x \cdot 1) \, dx$
   $= \ln x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 \, dx \right) dx$
   $= \ln x \cdot x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) dx$
   $= x \ln x - \int 1 \, dx$
   $= x \ln x - x + C$ (যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)
   (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $u = e^x$
   প্রদত্ত যোগজ: $I = \int_{0}^{\ln 2} \frac{u}{1 + u} \, dx = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$

   ধরি, $z = 1 + e^x$
   $\implies dz = e^x dx$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $z = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$
   যখন $x = \ln 2$, তখন $z = 1 + e^{\ln 2} = 1 + 2 = 3$

   অতএব,
   $I = \int_{2}^{3} \frac{1}{z} \, dz = [\ln |z|]_2^3$
   $= \ln 3 - \ln 2 = \ln\left(\frac{3}{2}\right)$

   নির্ণেয় মান: $\ln\left(\frac{3}{2}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $4x^2 + 9y^2 = 36$
   উভয়পক্ষকে $36$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$

   এখানে উপবৃত্তটি উভয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম এবং $a = 3, b = 2$।
   প্রথম চতুর্ভাগে উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে পাই:
   $\frac{y^2}{4} = 1 - \frac{x^2}{9} = \frac{9 - x^2}{9}$
   $\implies y^2 = \frac{4}{9}(9 - x^2)$
   $\implies y = \frac{2}{3}\sqrt{3^2 - x^2}$

   যোগজীকরণের সাহায্যে সম্পূর্ণ উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল:
   $A = 4 \int_{0}^{3} y \, dx$
   $= 4 \int_{0}^{3} \frac{2}{3}\sqrt{3^2 - x^2} \, dx$
   $= \frac{8}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{3^2 - x^2} + \frac{3^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \right]_0^3$
   $= \frac{8}{3} \left[ \left( 0 + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1) \right) - \left( 0 + \frac{9}{2}\sin^{-1}(0) \right) \right]$
   $= \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 6\pi$ বর্গ একক।

   নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: $6\pi$ বর্গ একক।