উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: সোজাসুজি একটি নদীর পার হতে সাঁতারুর t1t_1 সেকেন্ড সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে তীর বরাবর একই দূরত্ব অতিক্রম করতে তার t2t_2 সেকেন্ড সময় লাগে।দৃশ্যকল্প-২:

  1. ক)

    স্থিরাবস্থা থেকে একটি বস্তু 3 ms−2 3 \mathrm{~ms}^{-2} সমত্বরণে যাত্রা করু করলে কতক্ষণ পর এর বেগ 60 ms−1 60 \mathrm{~ms}^{-1} হবে?

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী সাঁতারুর গতিবেগ 20 cm/s 20 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} এবং স্রোতের গতিবেগ 10 cm/s 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} হলে t1:t2 t_{1}: t_{2} নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ OA = 49 মিটার হলে, OB এর দূরত্ব নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    আদিবেগ, u=0 ms−1u = 0\text{ ms}^{-1}
    ত্বরণ, a=3 ms−2a = 3\text{ ms}^{-2}
    শেষ বেগ, v=60 ms−1v = 60\text{ ms}^{-1}
    ধরি, সময় =t= t

    আমরা জানি,
    v=u+atv = u + at
    ⇒60=0+3t\Rightarrow 60 = 0 + 3t
    ⇒3t=60\Rightarrow 3t = 60
    ⇒t=20 s\Rightarrow t = 20\text{ s}

    সুতরাং, ২০ সেকেন্ড পর এর বেগ 60 ms−160\text{ ms}^{-1} হবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    সাঁতারুর বেগ, u=20 cm/su = 20\text{ cm/s}
    স্রোতের বেগ, v=10 cm/sv = 10\text{ cm/s}
    ধরি, নদীর প্রস্থ =d cm= d\text{ cm}

    সোজাসুজি নদী পার হতে সাঁতারুকে স্রোতের সাথে স্থূলকোণে সাঁতার কাটতে হয় যেন লব্ধি বেগ নদীর পাড়ের সাথে লম্ব বরাবর থাকে।
    লব্ধি বেগ, w=u2−v2=202−102=400−100=300=103 cm/sw = \sqrt{u^2 - v^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\text{ cm/s}
    অতএব, সোজাসুজি নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
    t1=dw=d103 st_1 = \frac{d}{w} = \frac{d}{10\sqrt{3}}\text{ s}

    আবার, স্রোতের অনুকূলে সাঁতারুর লব্ধি বেগ =u+v=20+10=30 cm/s= u + v = 20 + 10 = 30\text{ cm/s}
    অতএব, স্রোতের অনুকূলে একই দূরত্ব dd অতিক্রম করতে সময়,
    t2=d30 st_2 = \frac{d}{30}\text{ s}

    সুতরাং,
    t1t2=d103d30=30103=33=31\frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{d}{10\sqrt{3}}}{\frac{d}{30}} = \frac{30}{10\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{1}
    ∴t1:t2=3:1\therefore t_1 : t_2 = \sqrt{3} : 1

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে,
    প্রক্ষেপণ বিন্দু AA-এর উচ্চতা, h=OA=49 mh = OA = 49\text{ m}
    প্রক্ষেপণ বেগ, u=196 ms−1u = 196\text{ ms}^{-1}
    প্রক্ষেপণ কোণ, α=30∘\alpha = 30^\circ
    অভিকর্ষজ ত্বরণ, g=9.8 ms−2g = 9.8\text{ ms}^{-2}

    ধরি, বস্তুটি ভূমির BB বিন্দুতে পৌঁছাতে tt সময় নেয়।
    উলম্ব গতির সমীকরণ অনুসারে,
    −h=usin⁡α⋅t−12gt2-h = u \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2
    ⇒−49=196sin⁡30∘⋅t−12×9.8×t2\Rightarrow -49 = 196 \sin 30^\circ \cdot t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2
    ⇒−49=196×12×t−4.9t2\Rightarrow -49 = 196 \times \frac{1}{2} \times t - 4.9t^2
    ⇒4.9t2−98t−49=0\Rightarrow 4.9t^2 - 98t - 49 = 0
    উভয়পক্ষকে 4.94.9 দিয়ে ভাগ করে পাই,
    t2−20t−10=0t^2 - 20t - 10 = 0

    দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে,
    t=−(−20)±(−20)2−4(1)(−10)2×1t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-10)}}{2 \times 1}
    t=20±400+402=20±4402=10±110t = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 40}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{440}}{2} = 10 \pm \sqrt{110}
    যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না,
    t=10+110≈10+10.488=20.488 st = 10 + \sqrt{110} \approx 10 + 10.488 = 20.488\text{ s}

    অতএব, অনুভূমিক দূরত্ব,
    OB=ucos⁡α×tOB = u \cos\alpha \times t
    OB=196cos⁡30∘×20.488OB = 196 \cos 30^\circ \times 20.488
    OB=196×32×20.488=983×20.488≈3477.5 mOB = 196 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20.488 = 98\sqrt{3} \times 20.488 \approx 3477.5\text{ m}

    সুতরাং, OBOB এর দূরত্ব প্রায় 3477.5 m3477.5\text{ m} (বা 3.48 km3.48\text{ km})।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন