উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬ (অনিয়মিত)

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ :
দৃশ্যকল্প-২ : PP ও QQ মানের দুটি সমমুখী সমান্তরাল বলের লব্ধি AA বিন্দুতে ক্রিয়ারত। বলদ্বয় (P+R)(P + R) এবং (Q+S)(Q + S) মানের হলেও লব্ধি AA বিন্দুতে ক্রিয়া করে। P,QP, Q এর বদলে যথাক্রমে Q,RQ, R ক্রিয়া করলেও লব্ধি AA বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

  1. ক)

    কোনো বিন্দুতে 45∘45^\circ কোণে ক্রিয়ারত দুটি সমান বলকে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত 22N22N বলের সাহায্যে ভারসাম্যে রাখলে বলের মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    QQ এর দিক বরাবর RR এর লম্বাংশ PP হলে দেখাও যে, α=2tan⁡−1Q2P−Q\alpha = 2\tan^{-1}\sqrt{\frac{Q}{2P - Q}}।

    (4)
  3. গ)

    দেখাও যে, (Q−R)2−(P−Q)(R−S)=0(Q - R)^2 - (P - Q)(R - S) = 0।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, সমান বলদ্বয়ের প্রত্যেকটির মান FF।
    বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α=45∘\alpha = 45^\circ।

    যেহেতু বল দুটি 22 N22\text{ N} মানের একটি বলের সাথে ভারসাম্যে থাকে, সুতরাং বলদ্বয়ের লব্ধির মান R=22 NR = 22\text{ N} হতে হবে।

    আমরা জানি, দুটি সমান বলের লব্ধি,
    R=2Fcos⁡(α2)R = 2F \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
    ⇒22=2Fcos⁡(45∘2)=2Fcos⁡(22.5∘)\Rightarrow 22 = 2F \cos\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = 2F \cos(22.5^\circ)
    ⇒F=222cos⁡(22.5∘)=11cos⁡(22.5∘)\Rightarrow F = \frac{22}{2 \cos(22.5^\circ)} = \frac{11}{\cos(22.5^\circ)}

    যেহেতু cos⁡(22.5∘)=1+cos⁡45∘2=1+122=2+22≈0.92388\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0.92388

    অতএব,
    F=110.92388≈11.91 NF = \frac{11}{0.92388} \approx 11.91\text{ N} (বা 114−22 N11\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}\text{ N})।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ থেকে,
    OO বিন্দুতে OAOA বরাবর PP এবং OBOB বরাবর QQ বলদ্বয় ক্রিয়াশীল। এদের মধ্যবর্তী কোণ ∠AOB=α\angle AOB = \alpha এবং এদের লব্ধি OCOC বরাবর RR।

    বলসমূহের লম্বাংশের উপপাদ্য অনুযায়ী, OBOB (বা QQ) এর দিক বরাবর বলসমূহের লম্বাংশ নিয়ে পাই,
    QQ এর দিক বরাবর লব্ধি RR এর লম্বাংশ = QQ এর দিক বরাবর QQ এর লম্বাংশ + QQ এর দিক বরাবর PP এর লম্বাংশ
    ⇒P=Qcos⁡0∘+Pcos⁡α\Rightarrow P = Q \cos 0^\circ + P \cos \alpha [যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে, QQ এর দিক বরাবর RR এর লম্বাংশ PP]
    ⇒P=Q+Pcos⁡α\Rightarrow P = Q + P \cos \alpha
    ⇒Pcos⁡α=P−Q\Rightarrow P \cos \alpha = P - Q
    ⇒cos⁡α=P−QP\Rightarrow \cos \alpha = \frac{P - Q}{P}

    এখন,
    tan⁡2(α2)=1−cos⁡α1+cos⁡α=1−P−QP1+P−QP\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \frac{P - Q}{P}}{1 + \frac{P - Q}{P}}
    ⇒tan⁡2(α2)=P−(P−Q)PP+P−QP=Q2P−Q\Rightarrow \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\frac{P - (P - Q)}{P}}{\frac{P + P - Q}{P}} = \frac{Q}{2P - Q}
    ⇒tan⁡(α2)=Q2P−Q\Rightarrow \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{Q}{2P - Q}}
    ⇒α2=tan⁡−1Q2P−Q\Rightarrow \frac{\alpha}{2} = \tan^{-1}\sqrt{\frac{Q}{2P - Q}}
    ∴α=2tan⁡−1Q2P−Q\therefore \alpha = 2\tan^{-1}\sqrt{\frac{Q}{2P - Q}} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, PP ও QQ সমমুখী সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে B1B_1 ও B2B_2 বিন্দুতে ক্রিয়াশীল এবং তাদের লব্ধি সংযোগকারী রেখাংশের AA বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

    সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
    P⋅AB1=Q⋅AB2P \cdot AB_1 = Q \cdot AB_2
    ⇒PQ=AB2AB1\Rightarrow \frac{P}{Q} = \frac{AB_2}{AB_1} --- (১)

    আবার, বলদ্বয় (P+R)(P + R) এবং (Q+S)(Q + S) মানের হলেও লব্ধির অবস্থান AA অপরিবর্তিত থাকে:
    (P+R)⋅AB1=(Q+S)⋅AB2(P + R) \cdot AB_1 = (Q + S) \cdot AB_2
    ⇒P+RQ+S=AB2AB1\Rightarrow \frac{P + R}{Q + S} = \frac{AB_2}{AB_1} --- (২)

    অনুরূপভাবে, P,QP, Q এর বদলে যথাক্রমে Q,RQ, R ক্রিয়া করলেও লব্ধি AA বিন্দুতেই ক্রিয়া করে:
    Q⋅AB1=R⋅AB2Q \cdot AB_1 = R \cdot AB_2
    ⇒QR=AB2AB1\Rightarrow \frac{Q}{R} = \frac{AB_2}{AB_1} --- (৩)

    (১), (২) ও (৩) হতে পাই,
    PQ=P+RQ+S=QR\frac{P}{Q} = \frac{P + R}{Q + S} = \frac{Q}{R}

    অতএব,
    PQ=QR⇒Q2=PR\frac{P}{Q} = \frac{Q}{R} \Rightarrow Q^2 = PR --- (iv)

    আবার,
    PQ=P+RQ+S\frac{P}{Q} = \frac{P + R}{Q + S}
    ⇒P(Q+S)=Q(P+R)\Rightarrow P(Q + S) = Q(P + R)
    ⇒PQ+PS=PQ+QR\Rightarrow PQ + PS = PQ + QR
    ⇒PS=QR\Rightarrow PS = QR --- (v)

    এখন, বামপক্ষ:
    (Q−R)2−(P−Q)(R−S)(Q - R)^2 - (P - Q)(R - S)
    =(Q2−2QR+R2)−(PR−PS−QR+QS)= (Q^2 - 2QR + R^2) - (PR - PS - QR + QS)
    =Q2−2QR+R2−PR+PS+QR−QS= Q^2 - 2QR + R^2 - PR + PS + QR - QS
    =Q2−QR+R2−PR+PS−QS= Q^2 - QR + R^2 - PR + PS - QS

    (iv) থেকে PR=Q2PR = Q^2 এবং (v) থেকে PS=QRPS = QR বসিয়ে পাই,
    =Q2−QR+R2−Q2+QR−QS= Q^2 - QR + R^2 - Q^2 + QR - QS
    =R2−QS= R^2 - QS

    কিন্তু QR=P+RQ+S\frac{Q}{R} = \frac{P+R}{Q+S} হতে পাই:
    Q(Q+S)=R(P+R)Q(Q+S) = R(P+R)
    ⇒Q2+QS=PR+R2\Rightarrow Q^2 + QS = PR + R^2
    যেহেতু Q2=PRQ^2 = PR, তাই:
    PR+QS=PR+R2⇒QS=R2PR + QS = PR + R^2 \Rightarrow QS = R^2

    সুতরাং,
    R2−QS=R2−R2=0R^2 - QS = R^2 - R^2 = 0

    ∴(Q−R)2−(P−Q)(R−S)=0\therefore (Q - R)^2 - (P - Q)(R - S) = 0 (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন