উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প:S=a+b+c2 S = \frac{a+b+c}{2} , Δ=ABC \Delta = ABC এর ক্ষেত্রফল

  1. ক)

    যদি tan⁡B=4cot⁡α \tan B = 4\cot\alpha হয় তবে দেখাও যে, cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=−35 \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} = -\frac{3}{5} .

    (2)
  2. খ)

    দেখাও যে, sin⁡(B+C−A)+sin⁡(C+A−B)+sin⁡(A+B−C)=32Δ3a2b2c2 \sin(B+C-A) + \sin(C+A-B) + \sin(A+B-C) = \frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2} .

    (4)
  3. গ)

    যদি 4s(s−b)=3ca 4s(s-b) = 3ca হয় তবে ∠B \angle B এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে 'tan B = 4 cot α' এর স্থলে 'tan β = 4 cot α' ধরা হয়েছে।

    প্রশ্নে tan⁡B\tan B এর স্থলে tan⁡β\tan \beta ধরে:

    দেওয়া আছে,
    tan⁡β=4cot⁡α\tan \beta = 4 \cot \alpha
    ⇒sin⁡βcos⁡β=4cos⁡αsin⁡α\Rightarrow \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{4\cos \alpha}{\sin \alpha}
    ⇒sin⁡αsin⁡β=4cos⁡αcos⁡β\Rightarrow \sin \alpha \sin \beta = 4 \cos \alpha \cos \beta
    ⇒cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β=14\Rightarrow \frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{1}{4}

    বিয়োজন-যোজন করে পাই,
    cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β=1−41+4\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta} = \frac{1 - 4}{1 + 4}
    ⇒cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=−35(দেখানো হলো)\Rightarrow \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = -\frac{3}{5} \quad \text{(দেখানো হলো)}

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে 'tan B = 4 cot α' এর স্থলে 'tan β = 4 cot α' ধরা হয়েছে।

    আমরা জানি, △ABC\triangle ABC-এ A+B+C=πA + B + C = \pi বা 180∘180^\circ।

    বামপক্ষ =sin⁡(B+C−A)+sin⁡(C+A−B)+sin⁡(A+B−C)= \sin(B+C-A) + \sin(C+A-B) + \sin(A+B-C)
    =sin⁡(π−2A)+sin⁡(π−2B)+sin⁡(π−2C)= \sin(\pi - 2A) + \sin(\pi - 2B) + \sin(\pi - 2C)
    =sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C= \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C
    =2sin⁡(A+B)cos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C \cos C
    =2sin⁡(π−C)cos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2\sin(\pi - C)\cos(A-B) + 2\sin C \cos C
    =2sin⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡C]= 2\sin C [\cos(A-B) + \cos C]
    =2sin⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]= 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]
    =2sin⁡C[2sin⁡Asin⁡B]= 2\sin C [2\sin A \sin B]
    =4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C= 4 \sin A \sin B \sin C

    আবার, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল Δ=12bcsin⁡A=12casin⁡B=12absin⁡C\Delta = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C
    সুতরাং, sin⁡A=2Δbc\sin A = \frac{2\Delta}{bc}, sin⁡B=2Δca\sin B = \frac{2\Delta}{ca}, sin⁡C=2Δab\sin C = \frac{2\Delta}{ab}

    অতএব,
    4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=4⋅(2Δbc)⋅(2Δca)⋅(2Δab)4 \sin A \sin B \sin C = 4 \cdot \left(\frac{2\Delta}{bc}\right) \cdot \left(\frac{2\Delta}{ca}\right) \cdot \left(\frac{2\Delta}{ab}\right)
    $= 4 \cdot \frac{8\Delta^3}{a^2b^2c^2} = \frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2} = \text{ডানপক্ষ} \quad \text{(দেখানো হলো)}$$

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে 'tan B = 4 cot α' এর স্থলে 'tan β = 4 cot α' ধরা হয়েছে।

    দেওয়া আছে,
    4s(s−b)=3ca4s(s-b) = 3ca
    ⇒s(s−b)ca=34\Rightarrow \frac{s(s-b)}{ca} = \frac{3}{4}

    আমরা জানি,
    cos⁡B2=s(s−b)ca\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}
    ⇒cos⁡2B2=s(s−b)ca\Rightarrow \cos^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ca}

    অতএব,
    cos⁡2B2=34\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{3}{4}
    ⇒cos⁡B2=32[∵0<B2<90∘]\Rightarrow \cos \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \left[\because 0 < \frac{B}{2} < 90^\circ \right]
    ⇒B2=30∘\Rightarrow \frac{B}{2} = 30^\circ
    ⇒B=60∘\Rightarrow B = 60^\circ

    সুতরাং, ∠B=60∘\angle B = 60^\circ বা π3\frac{\pi}{3}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন