পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের একক সরণ ঘটাতে যে পরিমাণ প্রত্যয়নী বলের সৃষ্টি হয়, তাকে ঐ স্প্রিং-এর বল ধ্রুবক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দনশীল কণার ত্বরণ (a) ও সরণের (x) সম্পর্ক হলো: a = -ω²x, যেখানে ω হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক (ধ্রুবক)।
   এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে যে ত্বরণ সর্বদা সরণের বিপরীতমুখী। সুতরাং, a বনাম x এর লেখচিত্রটি হবে মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা যার ঢাল ঋণাত্মক (-ω²)। অর্থাৎ, লেখচিত্রটি দ্বিতীয় ও চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করবে এবং সরণ বৃদ্ধির সাথে সাথে বিপরীতমুখী ত্বরণের মান সমানুপাতিক হারে বৃদ্ধি পাবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সরণের সমীকরণ:
   x = 0.1 sin(0.5πt + π/5)
   আদর্শ সমীকরণ x = A sin(ωt + δ) এর সাথে তুলনা করে পাই,
   বিস্তার, A = 0.1 m
   কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 0.5π rad/s
   কণার ভর, m = 0.1 kg

   আমরা জানি, বল ধ্রুবক k = mω²
   = 0.1 × (0.5π)²
   = 0.1 × (0.25 × 3.1416²)
   ≈ 0.2467 N/m

   সর্বোচ্চ বিস্তারে প্রত্যয়নী বলের মান,
   F_max = kA
   = 0.2467 N/m × 0.1 m
   = 0.02467 N

   অতএব, সর্বোচ্চ বিস্তারে কণাটির উপর ক্রিয়ারত প্রত্যয়নী বলের মান প্রায় 0.0247 N।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কণার মোট যান্ত্রিক শক্তি হলো বিভবশক্তি (E_p) ও গতিশক্তি (E_k) এর সমষ্টি।
   যেকোনো অবস্থানে মোট যান্ত্রিক শক্তি,
   E = E_p + E_k = (1/2) k x² + (1/2) m v² = (1/2) k A²
   এখানে,
   ভর, m = 0.1 kg
   কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 0.5π rad/s
   বিস্তার, A = 0.1 m
   k = mω² = 0.1 × (0.5π)² ≈ 0.24674 N/m

   অতএব, যেকোনো সময়ে মোট যান্ত্রিক শক্তি:
   E = (1/2) k A² = (1/2) × 0.24674 × (0.1)² ≈ 1.2337 × 10⁻³ J

   এখন ভিন্ন ভিন্ন সময়ে যাচাই করি:
   ১. t = 0.5 s সময়ে:
   দশা, θ₁ = 0.5π(0.5) + π/5 = 0.25π + 0.2π = 0.45π rad
   sin(0.45π) ≈ 0.9877
   cos(0.45π) ≈ 0.1564
   সরণ, x₁ = 0.1 × sin(0.45π) ≈ 0.09877 m
   বেগ, v₁ = Aω cos(0.45π) = 0.1 × (0.5π) × cos(0.45π) ≈ 0.02457 m/s

   বিভবশক্তি, E_p1 = (1/2) k x₁² = 0.5 × 0.24674 × (0.09877)² ≈ 1.2036 × 10⁻³ J
   গতিশক্তি, E_k1 = (1/2) m v₁² = 0.5 × 0.1 × (0.02457)² ≈ 0.0302 × 10⁻³ J
   মোট শক্তি, E₁ = E_p1 + E_k1 = 1.2036 × 10⁻³ + 0.0302 × 10⁻³ = 1.2338 × 10⁻³ J

   ২. t = 0.75 s সময়ে:
   দশা, θ₂ = 0.5π(0.75) + π/5 = 0.375π + 0.2π = 0.575π rad
   sin(0.575π) ≈ 0.9724
   cos(0.575π) ≈ -0.2334
   সরণ, x₂ = 0.1 × sin(0.575π) ≈ 0.09724 m
   বেগ, v₂ = Aω cos(0.575π) = 0.1 × (0.5π) × (-0.2334) ≈ -0.03667 m/s

   বিভবশক্তি, E_p2 = (1/2) k x₂² = 0.5 × 0.24674 × (0.09724)² ≈ 1.1665 × 10⁻³ J
   গতিশক্তি, E_k2 = (1/2) m v₂² = 0.5 × 0.1 × (-0.03667)² ≈ 0.0672 × 10⁻³ J
   মোট শক্তি, E₂ = E_p2 + E_k2 = 1.1665 × 10⁻³ + 0.0672 × 10⁻³ = 1.2337 × 10⁻³ J

   যেহেতু E₁ = E₂ = E = 1.234 × 10⁻³ J, তাই t = 0.5 s ও t = 0.75 s সময়ে কণাটির মোট যান্ত্রিক শক্তি অপরিবর্তিত থাকে এবং যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা সূত্র পালিত হয়।