উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int_1^{e^3} \frac{dx}{x(2 + \ln x)}$

   মনে করি, $2 + \ln x = z$
   অন্তরীকরণ করে, $\frac{1}{x} dx = dz$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 1$, তখন $z = 2 + \ln 1 = 2 + 0 = 2$
   যখন $x = e^3$, তখন $z = 2 + \ln(e^3) = 2 + 3 = 5$

   অতএব,
   $I = \int_2^5 \frac{dz}{z} = [\ln |z|]_2^5 = \ln 5 - \ln 2 = \ln\left(\frac{5}{2}\right)$

   নির্ণেয় মান: $\ln\left(\frac{5}{2}\right)$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে, $f(x) = \sin x$
   অতএব, $f'(x) = \cos x$

   প্রদত্ত যোগজ,
   $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\{2 + \sin x\}\{3 + \sin x\}}$

   ধরি, $\sin x = z$
   উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $\cos x \, dx = dz$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $z = \sin 0 = 0$
   যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $z = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

   অতএব,
   $I = \int_0^1 \frac{dz}{(z + 2)(z + 3)}$
   আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই,
   $\frac{1}{(z + 2)(z + 3)} = \frac{1}{z + 2} - \frac{1}{z + 3}$

   সুতরাং,
   $I = \int_0^1 \left(\frac{1}{z + 2} - \frac{1}{z + 3}\right) dz$
   $= [\ln(z + 2) - \ln(z + 3)]_0^1$
   $= \left[\ln\left(\frac{z + 2}{z + 3}\right)\right]_0^1$
   $= \ln\left(\frac{1 + 2}{1 + 3}\right) - \ln\left(\frac{0 + 2}{0 + 3}\right)$
   $= \ln\left(\frac{3}{4}\right) - \ln\left(\frac{2}{3}\right)$
   $= \ln\left(\frac{3/4}{2/3}\right) = \ln\left(\frac{3}{4} \times \frac{3}{2}\right) = \ln\left(\frac{9}{8}\right)$

   নির্ণেয় মান: $\ln\left(\frac{9}{8}\right)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = 16x$
   বা, $y^2 = 4 \cdot 4 \cdot x$
   এখানে, $a = 4$
   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(0, 0)$ এবং অক্ষ $x$-অক্ষ।
   উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $x = a = 4$

   পরাবৃত্তটি $x$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
   সুতরাং, পরাবৃত্ত এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = 2 \int_0^4 y \, dx$

   এখানে, $y = \sqrt{16x} = 4\sqrt{x}$
   $A = 2 \int_0^4 4\sqrt{x} \, dx$
   $= 8 \int_0^4 x^{1/2} \, dx$
   $= 8 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4$
   $= 8 \times \frac{2}{3} \left[ 4^{3/2} - 0 \right]$
   $= \frac{16}{3} \times (2^2)^{3/2}$
   $= \frac{16}{3} \times 8$
   $= \frac{128}{3}$ বর্গ একক

   নির্ণেয় সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{128}{3}$ বর্গ একক।