উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
F(x)=x2+x+1x F(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x} , H(x)=xex(x+1)2 H(x)=\frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}}
- ক)(1)
y=(x−2)(x+1) y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2 x=2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
- খ)(2)
দেখাও যে, F(x) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
- গ)(3)
∫01H(x)dx \int_{0}^{1} H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ:
y = (x - 2)(x + 1) = x² - x - 2x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
dy/dx = 2x - 1অতএব, x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
m = [dy/dx]_(x=2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, F(x) = (x² + x + 1)/x = x + 1 + 1/x
x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
F'(x) = 1 - 1/x²
F''(x) = 2/x³চরম মানের জন্য, F'(x) = 0
বা, 1 - 1/x² = 0
বা, x² = 1
বা, x = ±1যখন x = 1:
F''(1) = 2/(1)³ = 2 > 0
সুতরাং, x = 1 বিন্দুতে লঘুমান বিদ্যমান।
লঘুমান = F(1) = 1 + 1 + 1/1 = 3যখন x = -1:
F''(-1) = 2/(-1)³ = -2 < 0
সুতরাং, x = -1 বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান।
গুরুমান = F(-1) = -1 + 1 + 1/(-1) = -1যেহেতু 3 > -1, সেহেতু F(x) এর লঘুমান (3), গুরুমান (-1) অপেক্ষা বৃহত্তর। (দেখানো হলো)
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, H(x) = (x eˣ) / (x + 1)²
∫₀¹ H(x) dx = ∫₀¹ [x eˣ / (x + 1)²] dx
= ∫₀¹ eˣ [(x + 1 - 1) / (x + 1)²] dx
= ∫₀¹ eˣ [1/(x + 1) - 1/(x + 1)²] dxআমরা জানি, ∫ eˣ [f(x) + f'(x)] dx = eˣ f(x)
এখানে, f(x) = 1/(x + 1) হলে f'(x) = -1/(x + 1)²অতএব,
∫₀¹ H(x) dx = [eˣ / (x + 1)]₀¹
= (e¹ / (1 + 1)) - (e⁰ / (0 + 1))
= e/2 - 1/1
= (e - 2)/2।নির্ণেয় মান: (e - 2)/2।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও