পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ট্রলি ব্যাগকে যখন হাতল ধরে টানা হয়, তখন প্রযুক্ত বল ভূমির সাথে একটি কোণ $\theta$ তৈরি করে। এই বলের দুটি উপাংশ থাকে— অনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta$ যা ব্যাগটিকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায় এবং উলম্ব উপাংশ $F\sin\theta$ যা ব্যাগের ওজনকে কিছুটা নিষ্ক্রিয় করে। হাতল লম্বা হলে অনুভূমিকের সাথে কোণ $\theta$ হ্রাস পায়। কোণ $\theta$ কমলে $\cos\theta$-এর মান বৃদ্ধি পায়, ফলে অনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta$ বেশি হয় এবং ব্যাগটি সহজে ও কম বল প্রয়োগ করে টানা যায়। তাই ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে, $N$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1, -2, 3)$।
   অতএব, অবস্থান ভেক্টর $\vec{C} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$

   $\vec{C}$ ভেক্টরের মান,
   $|\vec{C}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

   ধরি, $\vec{C}$ ভেক্টরটি $x$-অক্ষের সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করে।
   $x$-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর $\hat{i}$।
   অতএব,
   $\cos\alpha = \frac{\vec{C} \cdot \hat{i}}{|\vec{C}| \cdot |\hat{i}|} = \frac{1}{\sqrt{14} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{14}}$
   $\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right) \approx 74.5^\circ$

   সুতরাং, $\vec{C}$ ভেক্টরটি $x$-অক্ষের সাথে প্রায় $74.5^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে ভেক্টরত্রয় হলো:
   $\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
   $\vec{C} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$

   $\vec{B}$ এবং $\vec{C}$ ভেক্টরদ্বয়ের উভয়ের ওপর লম্বদিকের ভেক্টর হলো তাদের ক্রস গুণফল:
   $\vec{D} = \vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}(3 - 4) - \hat{j}(3 - (-2)) + \hat{k}(-2 - 1)$
   $= -\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$

   জ্যামিতিকভাবে, যেকোনো দুটি ভেক্টর (এখানে $\vec{D}$ এবং $\vec{A}$) সবসময় একই সমতলে অবস্থান করে (কেননা দুটি অসমান্তরাল ভেক্টর দ্বারা সর্বদা একটি নির্দিষ্ট সমতল সংজ্ঞায়িত হয়)।

   অন্যভাবে, যদি প্রশ্নটিতে $\vec{A}$, $\vec{B}$ ও $\vec{C}$ একই সমতলে অবস্থিত কি-না যাচাই করার বিষয়টি নির্দেশ করা হয়, তবে:
   $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k})$
   $= (2)(-1) + (-1)(-5) + (1)(-3)$
   $= -2 + 5 - 3 = 0$
   যেহেতু স্কেলার গুণফল শূন্য, তাই $\vec{A}$ ভেক্টরটি $\vec{B}$ ও $\vec{C}$ এর লম্ব ভেক্টরের সাথে $90^\circ$ কোণে অবস্থিত এবং $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ একই সমতলে রয়েছে।

   সুতরাং, $\vec{B}$ ও $\vec{C}$-এর লম্ব ভেক্টর এবং $\vec{A}$ ভেক্টরদ্বয় অবশ্যই একই সমতলে অবস্থান করে (যেকোনো দুটি ভেক্টর সর্বদা একটি সমতল নির্ধারণ করে)।