উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (-1, \sqrt{3})$ এবং পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$।

   আমরা জানি,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

   যেহেতু বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই—
   $\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$
   $= \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right|$
   $= \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})$
   $= \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ বা $120^\circ$

   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক $\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)$ বা $(2, 120^\circ)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে পাই, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4, 0)$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 3)$।

   ধরি, $P$ ও $Q$ বিন্দুদ্বয় $AB$ রেখাংশকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে।
   তাহলে $P$ বিন্দুটি $AB$ কে $1:2$ অনুপাতে এবং $Q$ বিন্দুটি $AB$ কে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

   $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $x_P = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot (-4)}{1 + 2} = -\frac{8}{3}$
   $y_P = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1$
   $\therefore P\left(-\frac{8}{3}, 1\right)$

   $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $x_Q = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot (-4)}{2 + 1} = -\frac{4}{3}$
   $y_Q = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$
   $\therefore Q\left(-\frac{4}{3}, 2\right)$

   মূলবিন্দু $O(0, 0)$।
   সুতরাং, $\Delta OPQ$ এর ক্ষেত্রফল:
   $= \frac{1}{2} \left| 0(1 - 2) + \left(-\frac{8}{3}\right)(2 - 0) + \left(-\frac{4}{3}\right)(0 - 1) \right|$
   $= \frac{1}{2} \left| 0 - \frac{16}{3} + \frac{4}{3} \right|$
   $= \frac{1}{2} \left| -\frac{12}{3} \right|$
   $= \frac{1}{2} |-4| = 2$ বর্গ একক।

   অতএব, উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $2$ বর্গ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে $A(-4, 0)$ এবং $B(0, 3)$।
   $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{3 - 0}{0 - (-4)} = \frac{3}{4}$

   ধরি, $(-1, 2)$ বিন্দুগামী নির্ণেয় রেখার ঢাল $m$।
   শর্তানুসারে, রেখাটি $AB$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।

   $\therefore \tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}m}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{4m - 3}{4 + 3m}$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $4 + 3m = 4m - 3$
   $\Rightarrow 4m - 3m = 4 + 3$
   $\Rightarrow m = 7$

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $4 + 3m = -(4m - 3)$
   $\Rightarrow 4 + 3m = -4m + 3$
   $\Rightarrow 7m = -1$
   $\Rightarrow m = -\frac{1}{7}$

   এখন, $(-1, 2)$ বিন্দুগামী এবং $m = 7$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ:
   $y - 2 = 7(x + 1)$
   $\Rightarrow y - 2 = 7x + 7$
   $\Rightarrow 7x - y + 9 = 0$

   এবং $(-1, 2)$ বিন্দুগামী এবং $m = -\frac{1}{7}$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ:
   $y - 2 = -\frac{1}{7}(x + 1)$
   $\Rightarrow 7y - 14 = -x - 1$
   $\Rightarrow x + 7y - 13 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ $7x - y + 9 = 0$ এবং $x + 7y - 13 = 0$।