গণিত • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৬

গণিত প্রশ্ন

(i) OO কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ PP বিন্দু হতে PQPQ ও PRPR দুইটি স্পর্শক। OPOP রেখাংশ QRQR কে MM বিন্দুতে ছেদ করে।
(ii) DEFG চতুর্ভুজ-এ ∠DEF+∠DGF=180∘\angle DEF + \angle DGF = 180^\circ।

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

    (1)
  2. খ)

    (i) হতে প্রমাণ করে যে, QM=RMQM = RM এবং OM⊥QROM \perp QR।

    (2)
  3. গ)

    (ii) হতে প্রমাণ করে যে, D,E,F,GD, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    বিশেষ নির্বচন: OO বৃত্তের কেন্দ্র, ABAB ব্যাস এবং CC অর্ধবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে ∠ACB=90°\angle ACB = 90°।

    অঙ্কন: O,CO, C যোগ করি।

    প্রমাণ: OA=OCOA = OC (ব্যাসার্ধ), তাই ∠OAC=∠OCA\angle OAC = \angle OCA। আবার OB=OCOB = OC, তাই ∠OBC=∠OCB\angle OBC = \angle OCB।

    △ABC\triangle ABC এ, ∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180°

    বা, ∠OCA+∠OCB+(∠OCA+∠OCB)=180°\angle OCA + \angle OCB + (\angle OCA + \angle OCB) = 180°

    বা, 2∠ACB=180°2\angle ACB = 180°

    বা, ∠ACB=90°\angle ACB = 90° (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    প্রমাণ: PQPQ ও PRPR স্পর্শক। O,QO, Q এবং O,RO, R যোগ করি।

    স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই ∠OQP=∠ORP=90°\angle OQP = \angle ORP = 90°। △OQP\triangle OQP ও △ORP\triangle ORP এ OQ=OROQ = OR (ব্যাসার্ধ), অতিভুজ OPOP সাধারণ। সুতরাং △OQP≅△ORP\triangle OQP \cong \triangle ORP (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)। অতএব, PQ=PRPQ = PR এবং ∠QPM=∠RPM\angle QPM = \angle RPM।

    এখন △PQM\triangle PQM ও △PRM\triangle PRM এ,

    PQ=PRPQ = PR

    ∠QPM=∠RPM\angle QPM = \angle RPM

    PMPM সাধারণ বাহু।

    সুতরাং △PQM≅△PRM\triangle PQM \cong \triangle PRM (বাহু-কোণ-বাহু)।

    অতএব, QM=RMQM = RM এবং ∠PMQ=∠PMR\angle PMQ = \angle PMR। QRQR এর ওপর PMPM দণ্ডায়মান বলে ∠PMQ+∠PMR=180°\angle PMQ + \angle PMR = 180°, তাই প্রতিটি 90°90°। সুতরাং OM⊥QROM \perp QR (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: DEFGDEFG চতুর্ভুজে ∠DEF+∠DGF=180°\angle DEF + \angle DGF = 180° এবং EE, GG কর্ণ DFDF এর বিপরীত পাশে। প্রমাণ করতে হবে D,E,F,GD, E, F, G সমবৃত্ত।

    অঙ্কন: D,E,FD, E, F বিন্দু দিয়ে বৃত্ত আঁকি। ধরি বৃত্তটি GG দিয়ে যায় না। DFDF এর ওপর একটি বিন্দু HH নিই এবং HGHG রশ্মি বৃত্তকে G′G' বিন্দুতে ছেদ করে (G′G', DFDF এর GG-পাশে)। D,G′D, G' এবং F,G′F, G' যোগ করি।

    প্রমাণ: DEFG′DEFG' বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই ∠DEF+∠DG′F=180°\angle DEF + \angle DG'F = 180°। শর্তানুসারে ∠DEF+∠DGF=180°\angle DEF + \angle DGF = 180°। অতএব, ∠DG′F=∠DGF\angle DG'F = \angle DGF ... (i)

    যদি GG, G′G' থেকে ভিন্ন হয় তবে দুটি অবস্থা হতে পারে:

    (ক) GG বৃত্তের ভেতরে হলে GG বিন্দু △DG′F\triangle DG'F এর অভ্যন্তরে থাকে, তাই ∠DGF>∠DG′F\angle DGF > \angle DG'F। এটি (i) এর বিপরীত।

    (খ) GG বৃত্তের বাইরে হলে G′G' বিন্দু △DGF\triangle DGF এর অভ্যন্তরে থাকে, তাই ∠DG′F>∠DGF\angle DG'F > \angle DGF। এটিও (i) এর বিপরীত।

    দুটি ক্ষেত্রেই বিরোধ হয়, তাই GG ও G′G' একই বিন্দু। অতএব, GG বিন্দু D,E,FD, E, F দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের ওপর অবস্থিত। অর্থাৎ D,E,F,GD, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন