গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   কোণদ্বয়ের অনুপাত $2:3$ এবং সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি $90^\circ$। ক্ষুদ্রতর কোণ $=\frac{2}{2+3}\times90^\circ=\mathbf{36^\circ}$।

2. খ)

   (ii) নং তথ্য অনুযায়ী খুঁটি ভাঙার ক্ষেত্রে হিসাব করা হলো।

   ধরি, ভূমির সাথে লম্ব দণ্ডায়মান অংশ $AB=x$ মিটার এবং ভাঙ্গা অংশ $BC=l$ মিটার। $\angle ABC=30^\circ$ এবং $x+l=75$।

   $\triangle ABC$ সমকোণী (সমকোণ $A$ বিন্দুতে), তাই $\cos30^\circ=\frac{AB}{BC}$, অর্থাৎ $x=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

   $\frac{\sqrt{3}}{2}l+l=75\Rightarrow l\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)=75\Rightarrow l=\frac{150}{2+\sqrt{3}}=150(2-\sqrt{3})\approx40.19$

   ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য $\mathbf{150(2-\sqrt{3})\approx৪০.১৯}$ মিটার।

   মন্তব্য: ভাঙ্গা অংশ ভূমির সাথে $30^\circ$ কোণ করলে $\sin30^\circ=\frac{x}{l}$ থেকে $x=\frac{l}{2}$, তখন $l=50$ মিটার হতো।

3. গ)

   ধরি, গাছের উচ্চতা $AB=150$ মিটার, নদীর বিস্তার $BC=d$ মিটার এবং লোকটি প্রথমে $C$ বিন্দুতে। $y$ মিটার পিছিয়ে গিয়ে $D$ বিন্দুতে, $CD=y$।

   $C$ বিন্দু থেকে: $\tan60^\circ=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\sqrt{3}=\frac{150}{d}\Rightarrow d=\frac{150}{\sqrt{3}}=50\sqrt{3}\approx86.6$

   নদীর বিস্তার $\mathbf{50\sqrt{3}\approx৮৬.৬}$ মিটার।

   $D$ বিন্দু থেকে: $\tan30^\circ=\frac{AB}{BD}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{150}{d+y}\Rightarrow d+y=150\sqrt{3}$

   $y=150\sqrt{3}-50\sqrt{3}=100\sqrt{3}\approx173.2$

   $y$ এর মান $\mathbf{100\sqrt{3}\approx১৭৩.২}$ মিটার।