উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি মুদ্রা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: {H, T}
   একটি ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

   একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে একবার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র (S):
   S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
   এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = 12।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের সারণি:

   প্রাপ্ত নম্বর (শ্রেণি ব্যবধান)	শ্রেণির মধ্যমান ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	$u_i = \frac{x_i - a}{c}$ ($a=74.5, c=10$)	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
   50 - 59	54.5	5	-2	-10	20
   60 - 69	64.5	10	-1	-10	10
   70 - 79	74.5 ($a$)	15	0	0	0
   80 - 89	84.5	20	1	20	20
   90 - 99	94.5	5	2	10	20
   মোট		$N = 55$		$\sum f_i u_i = 10$	$\sum f_i u_i^2 = 70$

   এখানে,
   শ্রেণি ব্যবধান, $c = 10$
   মোট গণসংখ্যা, $N = 55$

   আমরা জানি, ভেদাঙ্ক ($σ^2$) = $c^2 \left[ \frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i u_i}{N} \right)^2 \right]$

   $= 10^2 \left[ \frac{70}{55} - \left( \frac{10}{55} \right)^2 \right]$
   $= 100 \left[ \frac{14}{11} - \left( \frac{2}{11} \right)^2 \right]$
   $= 100 \left[ \frac{14}{11} - \frac{4}{121} \right]$
   $= 100 \left[ \frac{154 - 4}{121} \right]$
   $= 100 \times \frac{150}{121}$
   $= \frac{15000}{121} \approx 123.97$

   অতএব, নির্ণেয় ভেদাঙ্ক ১২৩.৯৭ (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে মোট ছাত্রসংখ্যা, $N = 55$

   উদ্দীপক হতে,
   A গ্রেড পাওয়া ছাত্রের সংখ্যা = 15
   A+ গ্রেড পাওয়া ছাত্রের সংখ্যা = 20 + 5 = 25

   সুতরাং, A অথবা A+ গ্রেড পাওয়া মোট ছাত্রসংখ্যা = 15 + 25 = 40 জন।

   অতএব, A এবং A+ কোনোটিই না পাওয়া ছাত্রের সংখ্যা = 55 - 40 = 15 জন।
   (বিকল্পভাবে: B গ্রেড এবং A- গ্রেড পাওয়া ছাত্রসংখ্যা = 5 + 10 = 15 জন)

   দৈবচয়নে একজন ছাত্র বেছে নেওয়া হলে:
   ছাত্রটির A এবং A+ না পাওয়ার অনুকূল ফলাফল = 15
   সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 55

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = $\frac{15}{55} = \frac{3}{11}$ বা প্রায় $0.2727$।