উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\lim_{x \to 0} (\operatorname{cosec} x - \cot x)$
   $= \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x}\right)$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}$
   $= \lim_{x \to 0} \tan(x/2)$
   $= \tan(0) = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে, $a = \sqrt{3}b$ এবং $A = 2B$

   আমরা জানি, সাইন সূত্রানুসারে,
   $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
   $\implies \frac{\sqrt{3}b}{\sin 2B} = \frac{b}{\sin B}$
   $\implies \frac{\sqrt{3}}{2\sin B \cos B} = \frac{1}{\sin B}$
   যেহেতু ত্রিভুজে $\sin B \neq 0$,
   $\implies 2\cos B = \sqrt{3} \implies \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\implies B = 30^\circ$

   অতএব, $A = 2B = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$
   ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$,
   $\therefore C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ$

   সুতরাং, ত্রিভুজের কোণগুলো হলো: $A = 60^\circ, B = 30^\circ, C = 90^\circ$ বা $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, $\ln y = bz$
   $\implies y = e^{bz}$
   দেওয়া আছে, $\cos z = x \implies z = \cos^{-1} x$
   $\therefore y = e^{b\cos^{-1} x}$

   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = e^{b\cos^{-1} x} \cdot b \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) = -\frac{by}{\sqrt{1 - x^2}}$
   $\implies \sqrt{1 - x^2}\, y_1 = -by$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1 - x^2) y_1^2 = b^2 y^2$

   এখন পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(-2x) y_1^2 + (1 - x^2) \cdot 2 y_1 y_2 = b^2 \cdot 2 y y_1$
   উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু $y_1 \neq 0$),
   $-x y_1 + (1 - x^2) y_2 = b^2 y$
   $\implies (1 - x^2) y_2 - x y_1 = b^2 y$ (প্রমাণিত)