∫0π2sin⁡5θcos⁡θdθ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 heta \cos heta d heta এর মান হবে --

Question

∫0π2sin⁡5θcos⁡θdθ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 	heta \cos 	heta d	heta এর মান হবে --

Accepted Answer

গ. 16 \frac{1}{6}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 	heta \cos 	heta \, d	heta$$

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে,
ধরি, $u = \sin 	heta$
সুতরাং, $du = \cos 	heta \, d	heta$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $	heta = 0$, তখন $u = \sin 0 = 0$
যখন $	heta = \frac{\pi}{2}$, তখন $u = \sin\left(\frac{\pi}{2}ight) = 1$

মান বসিয়ে পাই:
$$I = \int_{0}^{1} u^5 \, du = \left[ \frac{u^6}{6} ight]_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - 0 = \frac{1}{6}$$

অতএব, সঠিক মান $\frac{1}{6}$, যা ৩ নম্বর অপশনে দেওয়া আছে।

গণিত প্রশ্ন