গণিত • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫

গণিত প্রশ্ন

△ \triangle ABC এর D এবং E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B \angle \mathrm{B} ও ∠C \angle \mathrm{C} এর সমঘিখন্ডক দুইটি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যেকোনো একটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্ব কোণের সমন্টির সমান।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, DE∥BC \mathrm{DE} | \mathrm{BC} এবং DE=12BC \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} .

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, ∠BOC=90∘+12∠ A \angle \mathrm{BOC}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{~A} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    বিশেষ নির্বচন: △ABC\triangle ABC-এর BCBC বাহুকে DD পর্যন্ত বাড়ানো হলো। বহিঃস্থ কোণ ∠ACD\angle ACD। প্রমাণ করতে হবে, ∠ACD=∠BAC+∠ABC\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC।

    অঙ্কন: CC বিন্দুতে BABA-এর সমান্তরাল করে CECE রেখাংশ আঁকি।

    প্রমাণ: BA∥CEBA\parallel CE এবং ACAC ছেদক, তাই ∠ACE=∠BAC\angle ACE=\angle BAC (একান্তর কোণ)।

    আবার BA∥CEBA\parallel CE এবং BDBD ছেদক, তাই ∠ECD=∠ABC\angle ECD=\angle ABC (অনুরূপ কোণ)।

    যোগ করে, ∠ACE+∠ECD=∠BAC+∠ABC\angle ACE+\angle ECD=\angle BAC+\angle ABC

    ∴∠ACD=∠BAC+∠ABC\therefore\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: △ABC\triangle ABC-এর ABAB ও ACAC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে DD ও EE। প্রমাণ করতে হবে, DE∥BCDE\parallel BC এবং DE=12BCDE=\dfrac12BC।

    অঙ্কন: DEDE কে FF পর্যন্ত বাড়াই যেন EF=DEEF=DE হয়। C,FC,F যোগ করি।

    প্রমাণ: △ADE\triangle ADE ও △CEF\triangle CEF-এ AE=CEAE=CE (EE মধ্যবিন্দু), DE=EFDE=EF (অঙ্কন) এবং ∠AED=∠CEF\angle AED=\angle CEF (বিপ্রতীপ কোণ)।

    ∴△ADE≅△CEF\therefore\triangle ADE\cong\triangle CEF, অতএব AD=CFAD=CF এবং ∠ADE=∠CFE\angle ADE=\angle CFE।

    ∠ADE=∠CFE\angle ADE=\angle CFE একান্তর কোণ, তাই AB∥CFAB\parallel CF। AD=DBAD=DB বলে DB=CFDB=CF।

    সুতরাং DBCFDBCF চতুর্ভুজের DBDB ও CFCF সমান ও সমান্তরাল, অতএব এটি সামান্তরিক। তাই DF∥BCDF\parallel BC এবং DF=BCDF=BC।

    ∴DE∥BC\therefore DE\parallel BC এবং DE=12DF=12BCDE=\dfrac12DF=\dfrac12BC। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: △ABC\triangle ABC-এ ∠B\angle B ও ∠C\angle C-এর সমদ্বিখণ্ডক OO বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে, ∠BOC=90∘+12∠A\angle BOC=90^\circ+\dfrac12\angle A।

    প্রমাণ: OBOB ও OCOC যথাক্রমে ∠B\angle B ও ∠C\angle C-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই ∠OBC=12∠B\angle OBC=\dfrac12\angle B এবং ∠OCB=12∠C\angle OCB=\dfrac12\angle C।

    △OBC\triangle OBC-এ ∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−12(∠B+∠C)\angle BOC=180^\circ-(\angle OBC+\angle OCB)=180^\circ-\dfrac12(\angle B+\angle C)

    ∠B+∠C=180∘−∠A\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A (ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ)।

    ∴∠BOC=180∘−12(180∘−∠A)=90∘+12∠A\therefore\angle BOC=180^\circ-\dfrac12(180^\circ-\angle A)=90^\circ+\dfrac12\angle A। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন